4 Е. С. Федоровъ. 



изоэдра будутъ соответствовать равные или симметричные гоноэдры сопряженнаго много- 

 гранника. Следовательно, это будетъ изогонъ *). 



Путемъ обратнаго построен1я, исходя изъ мезосФерическаго изогона, мы докажемъ, 

 что сопряженный съ нимъ многогранникъ есть изоэдръ. 



Изъ учен1я о симметр1и известно, что каждому типическому изоэдру и сопряженному 

 съ нимъ изогону принадлежитъ определенная совокупность элементовъ симметр1и: каждый 

 таковой относится къ определенному виду симметр1и. Такъ какъ мезосФерическ1е изоэдры 

 и изогоны могутъ представлять лишь частные случаи первыхъ, то и каждый таковой дол- 

 женъ относиться къ определенному виду симметрш т. е. характеризоваться определенными 

 элементами симметр1и. 



Всгь вообще мезосферическге изоэдры и изогоны есть многогранники симметрическге. 

 Сфера, раздгьленная соотвгьтственно на ромбы представить геометрическгй образъ, ха- 

 рактеризующихся тою же совокупностью элементовъ симметрш, что и многогранники. 



Обратно, каждому виду симметр1и принадлежитъ безконечно большое число типиче- 

 скихъ изоэдровъ и подтипическихъ изогоновъ. Теперь намъ предлежитъ задача определить, 

 имеется ли посреди этой безконечности одинъ или рядъ многогранниковъ мезосФериче- 

 скихъ. 



несколько нагляднее исходить при этомъ изъ типическихъ изоэдровъ. 



Между ними, по теор1и симметр1и, нужно различить три разряда: 1) тригопальные 

 (съ трехугольными гранями), 2) тетрагональные и 3) пентагональные, такъ какъ те изъ 

 типическихъ изоэдровъ, которые представлены изолированными плоскостями или вообще 

 открытыми Формами къ мезосФерическимъ относимы быть не могутъ и нашему тепереш- 

 нему обсужден1ю не подлежатъ. 



Между тригональными изоэдрами нужно различать так1е, которымъ соответствуетъ 

 одно и то же постоянное разделен1е СФеры на трехугольники, или так1е, для которыхъ это 

 разделение меняется вместе съ точками касан1я граней. 



Въ первомъ изъ этихъ случаевъ можетъ суш;ествовать только одинъ мезосФеричесшй 

 изоэдръ: для него точки касан1я граней определяются центромъ СФерическаго круга (ма- 

 лаго), описаннаго около треугольника. Возможность существован1я этого изоэдра зависитъ 

 отъ того, будетъ ли находиться этотъ центръ внутри СФерическаго трехугольника или 

 нетъ: въ последнемъ предположенш мезосФерическ]й изоэдръ не былъ бы изоэдромъ пер- 

 вой степени, а мы въ теперешиемъ разсмотрен1и ограничимся только этимъ случаемъ. 

 Въ частномъ случае, если бы этотъ центръ попалъ на сторону трехугольника, то два трех- 

 угольника съ этою общею стороною слились бы въ одинъ четырехугольникъ, и соответ- 

 ствующ1й мезосФерическ1й изоэдръ былъ бы уже тетрагональнымъ. 



Вопросъ о возможности легко разрешается, если мы знаемъ все три угла Л, В ж С 



1) Впрочемъ, доказательство этой теоремы приведено уже въ Н. У. Ф. § 20. 



