о МЕЗОСФЕРИЧЕСКИХЪ МНОГОГРАННИКАХЪ. В 



Если проведемъ чрезъ всЬ так1я прямыя д1аметральныя плоскости, то на вн'Ьшнемъ 

 и внутреннемъ шарахъ получимъ отр'&зки дугъ большого круга, заключенные между двумя 

 ближайшими вершинами одного и сопряженнаго съ нимъ другого многогранника. И всЬ 

 эти отрезки на нротяжен1и всей СФеры будутъ равны между собою. 



Если соединимъ два конца (вершины) одного какого либо ребра съ вершинами сопря- 

 женныхъ многогранниковъ, соответствующими т-Ьмъ двумъ гранямъ перваго, который 

 перес'Ькаются во взятомъ ребрЬ, то нолучимъ на СФер-Ь четыре равныхъ СФерическихъ 

 отр'Ьзка, ограничивающихъ сФерическ1й ромбъ. Каждый такой ромбъ соотвЬтствуетъ опре- 

 д'Ьленному ребру одного и сопряженному ребру другого многогранника. Если назовемъ 

 такой ромбъ элементарными сферическимъ ромбомъ^ то вторую теорему можемъ выра- 

 зить такъ: 



2) Каждой парт сопряженныхъ мезосферическихъ многогранниковъ принадлео/ситъ 

 определенное раздгьленге всей сферы на элементарные сферическге ромбы. 



Во всЬхъ случаяхъ число этпхъ ромбовъ равно числу реберъ каждаго изъ сопряжен- 

 ныхъ многогранниковъ. 



Соотв'Ьтственньш ребра этихъ двухъ многогранниковъ будутъ прямьш, соединяющ1я 

 противоноложныя вершины СФерическихъ ромбовъ. Прямыя эти, хотя вообще и не нахо- 

 дятся въ одной плоскости, но всегда перпендикулярны другъ къ другу. Такъ какъ каждая 

 изъ нихъ соединяетъ вершины одного и того же многогранника, то въ каждомъ СФериче- 

 скомъ ромб-Ь мы различаемъ дв'Ь пары противоположныхъ вершинъ, какъ вершинъ раз- 

 наго рода: одна пара будетъ относиться къ вершинамъ одного, а другая къ вершинамъ 

 сопряженнаго многогранника. Им'Ья, сл'Ьдовательно, предъ собою полное д'Ьлен1е СФеры на 

 СФерическ1е ромбы, мы легко различимъ на СФер-й всю совокупность вершинъ одного отъ 

 совокупности вершинъ другого многогранника, а вм^ст-Ь съ т'Ьмъ по ромбамъ опред'Ьлятся 

 и сами многогранники. 



Поэтому для полнаго опред-Ьленхя какой-нибудь пары сопряженныхъ мезосФериче- 

 скихъ многогранниковъ достаточно имЬть соотв-Ьтственное разд1§лен1е СФеры на элемен- 

 тарные ромбы. 



Это разд'Ьленге можетъ быть весьма многообразное, и сейчасъ мы не можемъ зада- 

 ваться полнымъ ихъ выводомъ; но мы можемъ ограничить этотъ вопросъ и сдЬлать выводъ 

 всЬхъ мезосФерическихъ изоэдровъ и изогоновъ. 



Если одинъ г1зъ мезосферическихъ многогранниковъ пары есть изоэдръ, то сопряжен- 

 ный съ нимъ есть г(зогонъ, и обратно. 



Въ самомъ д-Ьл-Ь, если возьмемъ одну грань мезосФерическаго изоэдра, то для построе- 

 Н1Я соотв'Ьтственнаго гоноэдра сопряженнаго многогранника намъ нуяшо въ точкахъ пере- 

 с'Ьчен1я рад1усовъ, проходящихъ чрезъ вершины, съ внутреннимъ шаромъ провести къ по- 

 сл-Ьдиему касательный плоскости. Такъ какъ при этомъ единообразномъ построен1и соотв-Ьт- 

 ственно каждой равной или симметричной грани мы получимъ и равный или симметричный 

 гоноэдръ того же наименовашя, то и вообще всЬмъ равнымъ и симметричньшъ гранямъ 



