Е. С. Федоровъ. 



Также ясно, что и есть внушреннге углы этого многоугольника равны между собою \ 

 каждый такой уголъ напр,, при вершин'Ь А опредтЬлится двумя касательными АВ и АС^ а 

 эти касательный есть равный хорды. 



Следовательно, мезоциклическими многоугольниками могушъ быть только многоуголь- 

 ники правильные. 



Каждому правильному многоугольнику (если не будемъ распространять нашихъ вы- 

 водовъ на многоугольники высшихъ степеней или такъ называемыхъ зв'Ьздчатыхъ ^) со- 

 отв'Ьтствуетъ опред-бленное отношеше между рад1усами 72 и г описаннаго и вписаннаго 

 круговъ. Этими зам'Ьчан1ями исчерпывается весь выводъ мезоциклическихъ многоуголь- 

 никовъ. 



Въ основ-Ь вывода мезосФерическихъ многогранниковъ находятся дв'Ь сл-Ьдующхя 

 теоремы : 



1) Если существу етъ многогранникъ вписанный въ гиаръ съ радгусомъ В и описан- 

 ныхъ около кони/внтрическаго шара съ радгусомъ г, то существуешь и другой мезосфериче- 

 скгй многогранникъ^ также вписанный въ первый шаръ и описанный около второго. Точки 

 касангя къ внутреннему гиару находятся на одномъ радгусгь съ соотвгьтствующими вер- 

 шинами другого ^). 



По этой причин'Ь число и наименованхе граней одного изъ нихъ одинаково съ числомъ 

 и наименован1емъ соотв-Ьтствующихъ гоноэдровъ другого. 



Если означимъ соотв'Ьтственно число граней, вершинъ и реберъ одного чрезъ /*, миг, 

 а другого чрезъ /" п и г , то по теореме Эйлера 



п 



г 



и 



/" ч- м' = г' 



а такъ какъ, по только что приведенной теорем-Ь, /* = м' и /*' = п, то г = / то есть число 

 реберъ одинаково въ обоихъ сопряженныхъ мезосферическихь многогранникахъ. 



Будемъ разсматривать оба мезосФерическ1е многогранника совм-Ьстно, и опустимъ изъ 

 общаго центра обоихъ шаровъ перпендикуляры на всЬ грани обоихъ многогранниковъ. 

 Эти перпендикуляры пройдутъ чрезъ точки касан1я граней одного и вершины другого со- 

 пряженнаго многогранника. Каждая грань каждаго изъ этихъ многогранниковъ есть много- 

 угольникъ, вписанный въ круг'Ь, а рад1усы всЬхъ соотв'Ьтственныхъ круговъ обоихъ мно- 

 гогранниковъ равны между собою. Каждой такой грани соотв'Ьтствуетъ вершина сопря- 

 женнаго многогранника, находящаяся на перпендикуляре къ грани, проведенномъ чрезъ 

 центръ описаннаго круга. Следовательно, если соединимъ эту вершину со всеми верши- 

 нами соответственнаго многоугольника, то получимъ для всехъ такихъ отрезковъ равныя 

 величины. 



1) Н. у. Ф. § 93. 



2) Доказательство этой теоремы приведено въ 



стать^^ Пп 1Ьёогёте йеа Е1ётеп1з й'ЕисИйе е1с., напе- 

 чатанной въ ВиПеип йез 8с1епсез та(Ь., тага 1894. 



