DES MOUVEMENTS ASTRONOMIQUES. 17 
Chacune des intégrales définies contenues dans L, K, N doit être étendue à 
toute la masse contenue dans la surface (5), masse totale toujours égale à M’. 
Nous allons démontrer que, quelle que soit la fonction 9(p!), pourvu 
qu’elle satisfasse aux conditions générales énoncées au commencement de ce 
Paragraphe, la rotation n’est pas nulle; nous déterminerons aussi la position 
de l'axe de rotation, et le sens de la rotation dans un cas donné. 
Pour arriver à ces résultats importants, examinons l'équation (5). Cette 
équation est celle d’une surface dont chaque point a pour coordonnées 
polaires p’, » et &. 
On remarque que les coefficients de p'?, p' et ọ(¢') ne renferment pas 
langle £. Ges termes conservent donc les mêmes valeurs pour & et ë + 7. 
Le terme indépendant de ¢' contient, au contraire, cos ë et sin ë non mul- 
lipliés l'un par l'autre. Ce terme varie done quand é prend les valeurs £ + x 
OÙ — z, 
En posant E =y 
et 3 a 
on obtient : 
5 cos ọ (a cos Ẹ + b sin Ẹ) = 5 cos ÿ [u cos (& + y) + b sin (& + y)] = 5 cos; sin y Va? +1? 
sei) ‘ a 
en remarquant que cos &: =; sin = rire ee 
V& + b a? + b? 
et l'équation (5) prend la forme 
(9). 2M sin ọ (3 — 5 sin? &) ge? — MD (1 — 5 sin? ¢) op’ + 5 cos ? sin y Va? + b? 
— (MD? + 5n)sin ọ + ¢ (¢') D'= 0, 
La section de la surface par le plan £ =, est donc une courbe symétrique 
Par rapport à l’axe OO/z'; car en donnant à y les valeurs zéro et z, tous les 
termes restent identiques à eux-mêmes pour une même valeur quelconque 
des et quelle que soit la fonction 9 (¢'). Les valeurs de ¢' restent donc aussi 
identiques. 
La fonction 9 (e), nulle pour p! = p,, est positive quand p! < p,, négative 
Pour o > p. Elle est d'autant plus grande en valeur absolue que »! diffère 
plus de p. 
Quand o (e') est positif ou négatif, la somme o des autres termes du pre- 
Tour XLII. 5 
