24 APPLICATIONS DE LA THÉORIE 
On montrerait, en employant les autres combinaisons, que a, = a, = dy; 
b, = b, = b,. 
Par suite, les divisions homographiques sont en involution. 
II est visible que ce théorème s’applique aux homographies de tous les 
ordres. 
[Les six conditions que nous venons d'indiquer ne sont pas toutes distinctes 
et quatre d'entre elles suffisent pour caractériser involution. 
Il est aisé de se rendre compte de ce fait. 
On doit avoir 
Gj = h =A, 
pe pe 
c’est-à-dire quatre conditions. 
Nous allons faire voir que ces conditions sont, en effet, suffisantes. 
Nous avons 
LYZ + LY + Yi + tzt bor, + biyi + bzi + e —0, . . . (a) 
TY + Gi + aa + data + boar, + biz, + by + a —0, . . . (8) 
Yi + YZ + AZ ey + Agar yy, + boyy + bizi + bi +o=0, . . . (y) 
Yit + Agfa, + ia + des + oy, + Oye, + biz, + a —0; . . . (d) 
ces équations nous ont donné 
Ay = d3, 
D= ts 
Si nous retranchons (7) de (2), nous trouvons, en introduisant les conditions 
dy = üy; 
b = be, 
(ao — a) zi + (bo — by) = 0. 
La combinaison de (4) et de (x) nous conduit à l'égalité 
(a; — dg) % + (bo — b,) = 0. 
