DES FORMES ALGEBRIQUES A LA GÉOMÉTRIE. 55 
Par des transformations convenables, il est ei de faire prendre au 
déterminant © la forme suivante 
{ey Yr Yi WZ; 1 žr, Bayı XYZ 
La Ya Layo Loza À EXEL Moore 
5 S ta. Sg EES 
Xs Ys Lays Vazeg 1 Vag Lys VaYsZs 
s, désignant, dans cette formule, Punité positive ou négative. 
Représentons par © (1, 2, 3, 4), © (1, 2, 4, 5), ete., les déterminants que 
lon obtient en prenant quatre rangées quelconques dans les quatre derniéres 
colonnes. 
En appliquant le théorème de Lapcace (*), ce déterminant peut s'écrire 
PSN oO as RAT Pe be ane) 
où dklm est une combinaison des nombres 1, 2, 3... 8. 
Si chacun de ces déterminants du quatrième ordre est nul, il en est de 
même de 6. 
On a donc, pour le cas du troisième ordre, ce 
Tuéorème. — Si huit groupes de trois points sont tels qu'en associant 
d'une manière quelconque quatre de ces groupes, ils forment une involution ; 
ces huit groupes de trois points appartiennent à trois séries homogra- 
phiques. 
Ce théorème est général : il est connu pour le second ordre (**). 
Si douze points sont en involution, ils satisfont à la relation 
Say Exyi MY 
Exo TY. LoYaZa 
= 0. 
a 
=a, Lays UY Rs | 
() Voir, par exemple, Baurzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, p. 54. 
(E) Castes, G. S., p. 167. Voir aussi une démonstration analytique de ce théoréme dans le 
Mémoire cité de M. CAYLEY, p. 437. 
