DES FORMES ALGEBRIQUES A LA GÉOMÉTRIE. 57 
Lorsque x est impair, le second membre de cette égalité est un détermi- 
nant appelé symétrique gauche par M. Cayey (*), et, d'après un théorème 
de Jacomr, ce déterminant est nul CO. 
Par suite, (invariant quadratique simultané de deux formes identiques de 
degré impair est nul, ou bien les formes binaires de degré impair n'ont pas 
d'invariant quadratique (Gre): 
Puisque ; 
D= BE [eini mal 
et que le carré d’un déterminant est un déterminant symétrique, nous voyons 
que lénvariant quadratique d'une forme binaire de degré pair est égal au 
quotient de deux déterminants symétriques. 
On peut obtenir aisément une autre expression du quadrinvariant d’une 
forme de degré pair au moyen des racines. 
Cet invariant étant du second ordre, son poids est n (=). Considérons 
la fonction 
P = Ah E(w, — X9)? (Ls — 2). (Ena — x): 
Celle somme, dont l’ordre est deux, et le poids », doit s'écrire 
P = Aou, + Åna + + 
Si nous observons que cette quantité doit satisfaire à l'équation aux dérivées 
Partielles 
f l 
dees + 2 E + —0, 
da, das 
nous trouvons 
De D en (DU) 
Nous ne donnons ici cette expression que pour rapprocher deux expres- 
ns, de formes entièrement distinctes, de fonctions symétriques des racines 
, > 2 > 
d’une equation de degré pair. 
sio 
) Cavuey, Jounn. pz Crewe, t. XXXII, p. 119. 
( 
. Satuon, Lessons introductory to the modern Higher A lgebra, 5° édit., p. 55. 
a Cayzey, A Fourth Memoir upon Quantics, Puiros Trans, t. CXLVIIL, p. 420. 
) Id. A 2° Memoir upon Quantics, P. T., t. CXLVI, p. 107. 
Kika 
) F. Brioscur, 
> P. 501, 
Tome XLII. 8 
t La teorica dei covarianti è degli invarianti, cte., ANN. pt MATEMATICA, 
