66 APPLICATIONS DE LA THEORIE 
On a done ce théoréme : 
Si les quatre points, représentés par une forme du quatrième degré U, 
sont conjugués harmoniques du deuxième ordre, ces quatre points et les 
quatre points représentés par le hessien H, sont huit points conjugués har- 
moniques du quatriéme ordre. 
Nous allons donner, d’une maniére qui nous parait simple, une démon- 
stration de la propriété de J sur laquelle nous venons de nous appuyer. 
Soit 
U= (a,b,c, d,e Y x,y), 
une forme du quatrième degré. 
Si nous voulons résoudre l'équation 
U0, 
par la méthode de Descartes (*), nous pourrons, au moyen d’une substitu- 
tion linéaire, qui, par suite, ne change la valeur des invariants de la forme 
que d’une puissance du module de la substitution , lui faire prendre la forme 
at + Aa? + Ba + C—0 (*). 
Posons 
at + Aa? + Ba + C= (a? + px + q) (a? — px + q'). 
Nous trouverons , comme réduite de la proposée, l'équation 
z — Az? — 4Cz — (B?— 4AC) = 0. 
Pour arriver à cette réduite , on a posé 
q+ qg =A tpz. 
Lorsque les deux groupes de points représentés par les équations 
x? + px + q =0, x — px + 9 =0, 
sont conjugués harmoniques , 
Paes 0 
q+q +——=0. 
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(*) OEvynes pe Descartes, Géométrie, Liv. HI. (Edit. V. Cousin, t. V, p. 401.) 
(“) Nous empruntons ces calculs au Cours d’Analyse de M. CATALAN, p. 251. 
