SUR LA FONCTION LOG [(a). 
Hermite. L'étude d'un développement en série semi-convergente de la fonc- 
tion log G, (a + £) fera l'objet d'un prochain travail. 
2. Notre point de départ est la formule classique 
о 
(Н gp 
р? log r (a + ©) = = 
M F 
Appelons avec M. Glaisher Ay, Ag, ..., A; une suite de polynómes en 6, 
définis par la relation : 
weë xt , A5) 
(A) — 21 — xA (š) + — M(5)— x! — + a 
Le"? ` 
Si ce développement subsistait pour toutes les valeurs de z comprises 
entre les limites de l'intégrale, on aurait immédiatement 
i-o Az 
log T(a + £) = [a + A(£)]/a — a + Ca + D + > (— 4) Sc 
= ] 
Mais le développement (A) n'existe que pour les valeurs de la variable 
dont le module est inférieur à Ze, La série que nous venons d'obtenir étant 
divergente, il s’agit de la limiter à un nombre fini de termes et de donner 
l'expression du reste. Le théorème de M. Mittag-Leffler nous fournirait la 
solution de la question, mais il est plus simple de recourir à celui de Fourier. 
Envisageons, à cet effet, l'exponentielle e~** et posons, entre les limites 
— À et + 1, dez: 
m= 
CC = À + X [А„ cos mrz + B, sin mrz]. 
m=1 
On a, successivement, 
4 sti ad EE me 
A=- У. e *dz = ipa 
2 9x 
Le Cee 
A, = | e” cos mrzdz = (— 1)" x — : 
? x° + т?п? 
=! е ER 
ez sin mzzdz = (— 1)"mz 
