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FRANCESCO SEVER1 



CAPITOLO PRIMO 



§ 1. 



Caratteri di una varieta alyebrica. 



1. — Noi adottiamo la definizione di varieta alyebrica contenuta nella classica 

 Introduzione del prof. Segre. Nel seguito, fra le proprieta che si deducono da quella 

 definizione, ci servira piii frequentomente il fatto che una varieta a k dimensioni, V, 

 e secata da uno S r _ t generico del suo spazio 8„ in un numero finito di punti, che non 

 varia mutando lo S r _ t . Chiameremo, come si suole, ordine della varieta questo numero, 

 e lo denoteremo con p od anche con w . 



In un punto generico di V le tangenti ai rami curvilinei tracciati sopra V a 

 partire da quel punto riempiono uno spazio S t che dicesi iangenU a V. E quindi 

 insiemo alia V sorge la considerazione della varieta go' de' suoi S k tangenti. 



Chiameremo carattere (« , a l: ..., a k ) di V l'ordine della M d luogo dei punti di 

 contatto degli S t tangenti a V e soddisf'acenti alia condizione fondamentale (« , ...,a t ), 

 ossia appartenenti alia forma fondamentale [a , a lt ... , a B ] (*). Siccome per un [k] 

 dello S r giacere nella forma [e , a u ..., «,..] o condizione di specie 



(/,■ + !)<■ 



k-Hk- 



i) 



-la, 



:S«, 



-k(k + 3)-(lc + l)r. 



Ultimi caratteri di V si diranno quolli per i quali la M d corrispondente riducesi 

 ad un gruppo di punti id = 0). 



Se fosse «,, < r , siccome per un [k] dello S r giacere in un dato [a J e condizione 

 di specie (k -\- 1) (r — a,,), ossia di specie maggiore di k, non potrebbe esistere nessun 

 St tangente a V e appartenente alia figura [a , ..., aj. Dunque dovra essere « t =r. 



A partire da un certo valore di i potra darsi che gli spazi [a,] relativi alia 

 condizione (a > «ii ••■> «i) siano di dimensione cosi elevata, che la condizione suddetta 

 sia senz'altro soddisfatta dagli S» incontranti nella voluta maniera gli spazi [oj cor- 

 rispondenti a valori di i piu piccoli di quel certo; e quindi se ci vogliamo porre 

 nelle ipotesi piu generali dovremo ammettere che sia 



a, +l = r + s+l . — /,-, 



■ s -)-- 2 ■ 



1. 



(*) Con Sohubeht dicesi forma o figura fondamentale [a , «,,..., «&], 1'insieme degli Si,-, che hanno 

 con un dato [a ] un punto comune, con un dato [aj una retta, ..., con un dato [ai] un Si,..,, e 

 che giaociono in un dato [ak], per ogni valore di i verifieandosi che lo spazio [«t+i] passa per [en]. 

 Naturalmente, se r e la dimensione dell'ambiente, sara 0< a <C Oj <C «2— •< a* <r. 



L'opportunita della definizione di caratteri data nel testo segue da cib, che il numero degli 

 spazi tangenti a V e soddisfacenti ad una condizione algebrics qualsiasi (indipendente da quella 

 che s'impone a un 8k volendo che tocchi V), si pub esprimere con una somma di caratteri 



(«0, Of, ..., Aft). 



