SULLE INTERSEZIONI DELLE VARIETA ALGEBRICHE, ECC. 



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Se poi ad ogni punto di questa varieta accoppiarao ogni punto della V otteniamo 

 in generate, se 3&>2r, una co 3 "~ Sr di coincidenze perfette, la quale costituira una 

 varieta di punti tripli per V. Se ad ogni punto della M^-i,- dei punti tripli aggre- 

 ghiamo ogni punto della V otteniamo in generale una M m _ Zr di punti quadruple per V\ 

 e cosi continuando (*). 



La esistenza delle varieta multiple successive di una V,, dello S r {2k>r) pub 

 anche giustificarsi ammettendo clie per le varieta superior!, come per le curve, esista 

 un teorema di ISTo'ther (**); cioe sia sempre possibile riguardare la V !: come projezione 

 di una V h ' di uno S d , priva di punti multipli. — Al centro di projezione 0^ r _. si 

 appoggeranno co z '- ; corde di V\ giacche per una retta dello S d appoggiarsi ad e 

 condizione r-pla. La V avra in corrispondenza una M,,._ r doppia. Se poi il centro di 

 projezione assumesse particolari posizioni rispetto a V\ potrebbero i punti della M V: _ T 

 multipla, nella varieta projezione, essere di composizione meno semplice e anche 

 aumentare di molteplicita. 



I piani trisecanti di V incontranti secondo una retta, sono 



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quindi V avra in corrispondenza una M 3k _ 2r di punti tripli, e, per particolari posizioni 

 di 0, si pub fare su questa varieta l'osservazione analoga a quella fatta prima. E 

 cosi seguitando. 



Hisulta anche in questo modo che i punti i-pli di V sono ' J -pli per la varieta 



doppia, I * j-pli per la varieta tripla, ..., i-pli per la varieta dei punti (i — l)pli di V. 

 Si noti che projettando genericamente su uno S r una V k '(2k> r) dello S d , priva 



la superficie <t> dello S-.-,, priva di punti doppi apparenti, contiene un sisteraa cc a di coniche, d'in- 

 <Hce 1, non potevo subito concludere, come conclusi, che * e la superficie del Veronese: cio 'e vcro 

 a patto che le coniche del sisteina non siano tutte spezzate, ma pub anche darsi che questo accada. 

 AUora siccome la <t> non pub contenere go 3 rette, ogni retta di <t> ne incontrera infinite altre, e 

 poiche <t> (essendo dello 8 S ) non e una qnadrica, sara un cono. La superficie del Veronese e dunque 

 la sola superficie non conica dello S ;; , priva di punti doppi apparenti. — Sicche la proposizione al 

 principio del n°14, va emmciata cosi: Se si escludono i coni o la projezione della superficie del 

 Veronese, ogni superficie dello 6' t , dotata eventualmente di un n° Unito di punti doppi, ma che sia 

 priva di punti doppi impropri, e normale. Abbiamo aggiunto in questa proposizione la restrizione 

 che la superficie abbia un n° finito di punti doppi, perche le considerazioni del n° S eran relative 

 all'ipotesi che il centro da cui si guardava la $ fosse un punto generico dello .S' ;i . c quindi tale che 

 la superficie projezione non avesse infiniti punti doppi. — Naturalmente va in conseguenza ristretto 

 anche l'enunciato relativo alia normalifca della completa intersezione di due forme. — L'enunciato 

 successivo, che cioe — Tunica superficie dello S± dotata di qualche punto doppio improprio, hi quale 

 giaccia in una quadrica e la F k rigata — non soffre moclificazioni, perche nonostante la F* 1 del 

 Veronese si projetti da un punto di una sua corda in una superficie con una retta doppia, ai punti 

 di questa manca la caratteristica projettiva dei punti doppi impropri; si noti perb che i punti della 

 retta doppia sono impropri nel senso di Enriques. — E dalla proposizione antecedente si deduce 

 immediatamente l'altra: Se si esclude la F'" rigata, ogni altra superficie (con un n° finito di punti 

 doppi) per la quale passi qualche quadrica e normale. 



(*) La locuzione in generale, alia quale e subordinata l'affermazione dell'esistenza della varieta 

 doppia, tripla, quadrupla, ecc. di V, dipende dal fatto che eccezionalmente una varieta oo 81 {x > r) di 

 coppie di punti dello Sr pub possedere meno che co"- r coincidenze perfette. 



(**) II Prof. Del Pkzzo alia fine della sua Nota, Estensione di un teorema di Nother (" Rendiconti 

 di Palermo, t. II, 1888), accenna alia possibility di estendere il teorema di Nother, relativo alle curve, 

 anche alle varieta superiori. 



(***) Si dovra dire: Le rette trisecanti di V passanti per sono cc ?fc - s '', s e d = r-\-l. 



