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FRANCESCO SEVER] 



di punti multipli, la M a _ r doppia per la projezione V t , provoniente dalle corde di V 

 appoggiate al centro di projezione £>,,_,_; , e la varieta dei punti doppi impropri di V. 

 Che, nelle ipotesi ora poste, ogni punto di quest'ultima varieta appartenga alia M a _ r 

 prima nominata, e evidente; che poi un punto doppio P di V, il quale provenga da 

 due punti distinti PiP 2 di V, la cui congiungente appoggiasi ad 0, sia un punto doppio 

 improprio, pud vedersi nei modo soguente. Se si considera il cono delle oo ! * _H ~ 1 corde 

 di V per un punto generico L del suo spazio, una generatrice generics di esso cono 

 sara, nelle nostre ipotesi, una corda propriamente dotta di V, e inoltre fra le gene- 

 ratrici dovra trovarsi la retta PL, perclie altrimenti projettando da L la V su un 

 iperpiano, P darcbbe luogo a un punto doppio isolato della projezione, dal che, a 

 causa della genericita di o di L, sarebbe forza concludere che da un S d _, generico 

 la V si projetta su uno S r _i secondo una varieta con punti doppi isolati, il die e 

 assurdo. — Ma dunque ogni retta uscente da P appartiene alia varieta delle corde 

 di V, o quindi, giusta la definizione, P sara un punto doppio improprio. 



Siccome una sezione di V con un certo spazio per lo $,_ s OP,, non e che una 

 sezione generica di V, ne segue che i caratteri di una sezione della varieta V con 

 uno spazio condotto genericamonte per un suo punto doppio improprio, sono uguali 

 ai caratteri di ugual simbolo che spettano ad una sezione generica; o, altrimenti, la 

 varieta dei punti di contatto degli S„ tangenti a Fe appartenenti allaflgura [a , a,,. ..,»„] 

 non passa per la M a ^, dei punti doppi impropri di V. 



Nel caso 2k<r noi diremo che una V t dello S r e generate, quando non ha punti 

 multipli; se poi 2k>r parlando di una V t generate s'intendera di parlare di una 

 varieta le cui singolarita puntuali siano in tulto assimilabili a quelle di una varieta M k 

 projezione generica sullo S, di una varieta, di uno spazio superiore, priva di punti 

 multipli. Prescindendo dal concetto di composizione delle singolarita puntuali, la locu- 

 zione in tutto assimilabili signifiehera che le proprieta delle varieta multiple (doppia, 

 tripla, ecc.) di V, delle quali dovremo far uso nel nostro studio, sono identiche a 

 quelle delle varieta multiple di una M t projezione generica di un'altra priva di punti 

 multipli. 



Possiamo riassumendo dire che ana V k generate dello S,, se 2k = r + h, possiede 

 una M k _ (( _2)(f-i| di punti i-pli (i = 2, 3, ... in guisa che (i — 2)(r — k)<h), che sono 

 I ' \-pli per la M» doppia, ' j-pli per la M 4 _| r _ ft) tripla, ..., i-pli per la varieta dei 



punti (i — l)pli. 



E inoltre: La varieta dei punti di contatto degli S t tangenti ad una V (l . generate 

 e appartenenti alia figura generica [a„, a^ ..., a t |, non passa per la M a ^ r dei punti 

 doppi impropri di V. 



In particolare la M k _ t dei punti di contatto degli S t tangenti a V e appoggiati 

 a un dato S,_j_, non passa per la suddetta varieta di punti doppi. Cio equivale a 

 dire che la sezione curvilinea di V per tin punto doppio improprio, ha lo stesso genere 

 di una sezione curvilinea generica. 



3. — Data nello S r una F t generale, se 2k > r, abbiamo visto che V possiede 

 in generale una M a _, doppia. Assognati i caratteri di V ci proponiamo di calcolare 

 1'ordine di questa varieta doppia. 



