SULLE INTERSEZIOXI DELLE YAL'IETA A I.flKiili II I! I'.. Hi. 



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E chiaro che bastera limitarsi al easo 2k = r, giacche per sezione con un con- 

 veniente spazio sempre a questo ci possiamo ridurre. 



Rappresentiamo con d[r, k] ir numero incognito dei punti doppi impropri di una V t 

 generate dello S r (2k = r). Per un punto dello S, passa una semplice infinita di 

 corde della V, le quali costituiscono un cono I". Diciamo omologhi due punti P, P 

 di V quando sono in una medesima goneratrice di l~. 



II numero delle coppie PP', il cui punto P giace in un dato S,_i, uguaglia il 

 doppio del numero delle corde di una varieta a k — 1 dimensioni, sezione di V col 

 dato S,._, , le quali passano per un dato punto ivi, come si vede conducendo l'iper- 

 piano secante pel punto 0. 



Analogamonte pel numero delle coppie PP il cui P sta in un dato iperpiano. 



Quanto poi ai numero delle coppie la cui retta PP appoggiasi a un dato S r _ 2 , 

 e pur chiaro che sara dato dal doppio dell'ordine del cono f, che e espresso da 

 d\r — 2, k — 1 ] , giacche tante sono le corde di una sezione iperpiana di T , le quali 

 passano per un punto dello spazio secante, quanti sono i punti doppi della projezione 

 sopra uno S r _„, di quella sezione iperpiana. 



Le coincidenze PP' si hanno nei punti doppi impropri di V, ciascuno da con- 

 tarsi due volte, e nei punti di contatto delle uj,. tangenti di T , che passano pel 

 punto 0. — Si ha quindi la formola ricorrente: 



2d[r, k] + ui,. = 2d\r — 2,k — 1], 



Applicandola successivamente per valori decresconti di k, si ha: 



2d[r — 2, k — 1] + uj^., = 2d[r — 4, * — 2] 



2d[4, 2] + ui 2 = 2<2[2, 1] 

 2d[2, 1] + U), = p (Po — 1). 



Sommando membro a membro si ottiene : 



donde: 



2d[r,/c] + Z i uj j = p (p — 1), 



i 



») 1 . 



d\r, J] : 



Tu>,(*)- 



( ¥ ) Si noti che dalle formole prccedenti si trae ehe i ceti di una varieta generate son nutneri 

 pari. — II resultato definitive- si poteva ottenere anche (e il concetto non e sostanzialmente diverse) 

 appHcando una delle formole di coincidenza date dal prof. Pieri nella Nota citata (al n° 2). Accop- 

 piando ad ogni punto P di V ogni altro punto P' della V stessa, otteniarno oo r coppie PP'. Gl'indici 

 della corrispondenza son tutti nulli, tranne quello che denota quante coppie hanno il punto P in 

 uno 51b dato, e il punto P in un altro Sk dato. e questo indice uguaglia p§ . Lo t-esimo rango della 

 vaneta di coincidenza, ossia il numero dei punti di uno Sr-\ dato in ciascuno dei quali coincidono 

 °-ue punti PP' in guiaa che la loro conginngente si appoggi a un dato Si (i= 1, ... , ft— 1), uguaglia 

 u ceto ujfc_j di V, come subito si riconosce assumendo il dato Si entro al dato 5V— t. II &-esimo 

 rango uguaglia 2d-\-\Uk, e lo 0-esinio rango della varieta di coincidenze, uguaglia p ; onde 



i: 



Pl = 2d [r, k] + 1 Wi + Po , 

 dalla quale segue subito la formola del testo. 



