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FRANCESCO SEVER] 



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Si pub enunciare: 



Una V t generate dello S r (2fc3r) di ordine p e ceti u^, w !t ..., uj,— «, possiede una 

 variety, a 2k — r dimension* di punti doppi impropri; il cm ordine e espresso da: 



1 V 



?'-.7?« 



Questa e la prima di una serie di relazioni che legano i caratteri di V ai carat- 

 teri delle sue varieta multiple. La ricerca di tutte queste relazioni ci farebbe di 

 troppo deviare dal nostro problema. 



Se, essendo 2k > r, la varieta V non ha punti multipli, i caratteri da noi intro- 

 dotti non sono indipendenti : fra essi c'e almeno la relazione: 



1° 



1 ' 



I.UJ, 



:0. 



4. — Ed ora, per fare un esempio delle cose precedenti, fermiamoci un po' sopra 

 una V-t luogo di w 1 3 t _ l , la quale sia di ordine p e genere p (*). — Faremo vedere 

 che anche in tal caso le classi e i ceti non sono indipendenti, ma che tutti possono 

 esprimersi in funzione dell' ordine e del genere di V. 



L'ultima classe di una V L siffatta, suppostala immersa in uno S r , e il numero 

 de' suoi 6't tangenti appoggiati a un dato S T ^ secondo uno $j_j,. Per ogni tale 6',, tan- 

 gente (se ci fosse) si dovrebbe avere uno S,._i generatore appoggiato al dato <S,_s 

 secondo uno /S t _ 2 - Ora per uno S»_ I appoggiarsi, secondo uno S,.. s , a un dato S r _ 2 , e 

 condizione (k — l)-pla, onde non potra darsi che ci siano Sj., generator! soddisfa- 

 centi alia condizione suddetta, a meno che non sia k — 1 = 1, ossia & = 2. E dunque 

 per una V t luogo di ca 1 S t _ i le classi sono: 



Pi : 



2(Po +P — 1), Ps = Po, P:3 = , ..., p* = , 



c sarebbe anche p 2 , se la sezione superficiale della V t fosse una sviluppabile. 



Calcoliamo ora i ceti della Vt,. Ci fermeremo al caso in cui la dimensione r dello 

 spazio ambiente e il doppio di k, perche o per projezione o per sezione ci riduciamo 

 sempre a questo caso. 



Sia dunque w f lo i-esimo ceto della V u (**), ossia l'ultimo ceto della varieta ad i 

 dimensioni (luogo di co 1 ^,) sezione di V con uno S t+i . Projettiamo questa sezione 

 sopra uno $«_] del buo spazio da uno 0,,^ generico. Nello >%,_, avremo una <[>,, luogo 

 di cc'S,.!, ed essa possiedera una linea doppia, che sara incontrata in P — * punti 



(*) Si stabilisee faeilmente che: data una Vt, luogo di oo 1 Sk-i , se sono go' gli Sk tangenti a V 

 nei punti di uno spazio generatore TT, questi formano un sisterna lineare entro un determinato Sk+i. 

 In tali eondizioni ogni Sk tangente a Fin un punto di TT, la tocca negli co'^-t punti di un certo 

 &-1-1, e tutti gli Sk-i-i di contatto passano per un certo Sk-i-z, che e l'intersezione di TT con lo 

 spazio generatore innnitamente vicino. 



(**) In quel che segue si conBidera il caso generale, che cioe due spazi generatori innnitamente 

 vieini della V non s'incontrino. 



