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SULLE INTERSEZIOM DELLE VARIETA ALGEBEICHE, ECC. 



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da ogni Sj_, generators (*). E sulla linea doppia ci saranno w f punti da ognuno dei 

 quali usciranno due S t _i generatori coincidenti (per analogia oolle rigate sghembe si 

 potrebbero chiamare punti cuspidali). 



Se diciamo clie due spazi generatori I el 1 sono eorrispondenti quando s'incon- 

 trano (in un punto della linea doppia) avremo fra gli S ( _, generatori di <t> una cor- 

 rispondenza involutoria le cui coincidenze, in numero di tu„ si presentano negli S f _[ 

 generatori che escono dai punti cuspidali , e il suo indiee sara p — i. Qual' e la 

 valenza di questa oorrispondenza ? 



Rappresentiamo gli £,_, dello S 2i _ l coi punti di una varieta F ad i- dimension! 



2»\ 



nnmersa in uno 6',,, prendendo le 



coordinate omogenee di S,_i nello S K 



come coordinate omogenee di punto in uno 8 



(?)- 



Si vede subito (**) che gli S^ 



appoggiati ad un dato S'j., verificano colle loro coordinate un'equazione lineare, e 

 quindi son rappresentati dai punti di una sezione iperpiana di F. La varieta <t> sara 

 rappresentata da una curva <p, di genere p, tracciata sopra F; e siccome vi sono 

 Po spazi generatori di <t> appoggiati a un dato S ( _i, per quanto precede le sezioni 

 iperpiane di F incontreranno <p in p punti, ossia cp sara di ordine p . — Un sistema 

 che abbia per spazio direttore uno S f _, della <t>, contiene all'intuori dello spazio diret- 

 tore, p — i spazi generatori di <t> e dunque lo £>,■_, direttore assorbe tS,_, generatori 

 comuni a e al sistema suddetto. Ne viene che l'iperpiano corrispondente avra in 

 uno dei punti comuni ad esso o a <p (precisamente in quello che rappresenta lo S,_, 

 direttore), moltiplicita d'intersezione i con la cp stessa, e quindi la nostra oorrispon- 

 denza I, X', che si rispecchia in una corrispondcnza fra i punti di cp, sara dotata di 

 valenza uguale ad i. 



Pel principio di corrispondenza di Cayley e Brill, avremo: 



w< = ( Po - J) + (p - i) + 2ip = 2(p„ + ip — i) (***). 



Ora che conosciamo le espressioni dei ceti di Y t , sostituendo nella formola del 

 n° 3, avremo, dopo facili trasformazioni, il numero: 



(V) 



(k+V 



P, 



che dice quanti punti doppi impropri possiede una M k dello S 2h , luogo di oo^^ (****). 



(*) Cfr. Tanturri, Un prohlema di geometric* numerativa, ecc. (* Atti della R. Ace. di Torino „, 

 t. 35, 1900, ved. al n° 9). 



(**) Cfr. D'Ovidio, Le funziom meiriche fondamentali ?iegli spazi di quante si vogliano dimensioni, ece. 

 C Memorie dei Lincei „, (3), t. I, 1877). Vedi al § VII. 



E***) Quando / = 2 si ha un traoto procedimento per calcolare il numero delle generatrici cuspi- 

 dali di una rigata gobba. Ved. le citazioni al n° 2 della mia Nota citata. 



(****) Questa formola e stata pure trovata dai Tanturri mediante spezzamenti. Cfr. la Nota cit. 



