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t'EANCESOO SEVER! 



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§ 3. — Dei punti doppi che s' imponr/ono ad una varieta convenien- 

 temente estesa, sopra un'altra varieta per cut la prima debba 

 passare. 



5. — Quando una varieta <t> A dello S r si obbliga a passare per una varieta Ft 

 generale (k<h), se 2k>r, la <t> vieno ad avere una varieta di punti doppi nella M !t _,. 

 dei punti doppi impropri di V, e cio segue subito dal fatto che ogni retta per un 

 punto doppio improprio contiene due punti infinitamente vieini di V. Ma c'e di piii : 

 la e obbligata ad avere una varieta di punti doppi, M 2t _ h _ u in punti semplici di V. 

 Indipendentemente dalla ipotesi 2k>r, ossia indipendentemente dall'ipotesi che Fpos- 

 segga una varieta di punti doppi impropri, si pub dire che se 2k>h-{-l la <t> e obbli- 

 gata, passando per V, ad avere una ifcQ s _ A _ 1 doppia in punti semplici di V. 



Oominciamo a considerare il caso di h=r — 1 (nel qual caso la condizione 2k>r, 

 coincide con la 2k>h-\-l) cioe il caso di una forma F, di ordine I, passante per una 

 varieta V t e supponiamo, dapprima, che V sia completa intersezione di r — k forme 

 J?i, ..., H,-* di ordini m x , ..., »i,._ t situate genericamente in modo che V non abbia 

 punti multipli. Si potranno determinare certe forme A lt ..., A r _ k tali che 



•■A,M, 



+ -4-*£U (*). 



Cerchiamo se esistono dei punti che soddisfino alle equazioni: 



(1) 



ff, = 0, ..., -ff,._, ; = 0, J~=0 



Abbiamo: 



dan 



i^g + *,*," 



dxi 



(»=■!, ...,/ + 1). 



quindi le (1) possono scriversi: 



(2) 



H, = 0, ..., H r _ h — 0, 2,4, P = 0. 



Se r>2(r — k), ossia se 24 >r, esisteranno oo !l ' soluzioni dolle equazioni: 

 (3) -Hi = 0, ..., H r _ k = 0, A l = 0, ..., A r _ t = 



e formeranno una M, t _ r , di ordine m, »% ... m r _ lL (l — »%).. .(I — m r _ k ), giacente su V, 

 costituita da punti doppi di F. Ma, nelle nostre ipotesi, si pud riscontrare di piii che 

 i soli punti doppi di F su V sono quelli dati dalle (3); perche se un qualche punto 

 esistesse pel quale fosser soddisfatte le (1), ossia le (2), e non le (3), in quel punto 



la matrice 



W\\ /.; = i, 



r — k 



b%i 



•1, -ir + 1 



dovrebbe avere il rango minore di r — k, il che 



(*) Questo risulta come caso partieolare della proposizione da me dimostrata nella Nota, Eap- 

 presentazione di una forma qualunque per combinazione lineare di pih allre (" Rendiconti de' Lincei „ 

 (5), t. XI, 1902). 



