74 



t'TCANCFSCO SKVKItl 



14 



Difatti i punti doppi di * su V o provengono da punti che son doppi per qualcuna 

 delle F, e allora, nelle nostre ipotesi, giaceiono su T, oppure provengono da punti 

 in cui gli iperpiani (1) sono linearraente dipendenti. In quest' ultimo caso dovranno 

 esistere certi numeri finiti e non tutti nulli X,, X 2 , ..., \_ h tali che 



UAnl, + ...) ... + l r - h Ur~Kih + •••) = 



identicamente rispetto alle coordinate variabili y. Ossia dovra essere: 



I,(M,i + ... + K^A_ Kl ) + ... + I,_,,{KAi.,-i, + - + V-^-v-*) - °- 



Se questa identita ha Iuogo per valori tutti nulli dei coefficient di /,, ..., I,_ c la 

 matrice (2) avra la caratteristica r—h — 1 (al piu) e quindi il punto in questione 

 apparterra a V. Se la identita precedente potesse aver luogo senza che la (2) avesse 

 la caratteristica r — h — 1, i coefficienti di I,, ..., /,_* avrebbero valori non tutti nulli 

 e quindi nel punto x gli iperpiani tangenti alle S sarebbero linearmente dipendenti: 

 dal che segue che si tratterebbe di un punto multiplo di V, mentre per ipotesi V non 

 ha punti raultipli. 



L'ordine della varieta V si puo calcolare applicando una formola dovuta a 

 S. Roberts (*); essa fornisce per quest' ordine l'espressione : 



Zi(— l)'s,o-»„ tH1 _(, 



ove s f denota la somma dei prodotti di m t — 1, ..., w r _ s — 1 combinate ad i ad i 

 senza ripetizione, o", la somma dei prodotti di »i — 1, ..., «,_;, — 1 combinate ad i ad i 

 con ripetizione, e s = O = 1. 



Se dunque 2k>h-\-l, l'ordine della M a _ k _ { dei punti doppi che s' impongono 

 a <t> sopra la varieta V per cui * passa, e espresso dalla formola : 



m^n-i ... »i r -iX{ — l) i s i <T ft _ l+ ,_,. 







Al § 6 impareremo che i ceti successivi tu, della varieta V sono espressi mediante 

 gli ordini delle H, cosi: 



uu = ni{m 2 ... m T _ k , ui t = m y ... m,_»Ji, ..., uj, = myth ■■■ '»>-cs, , ... 



E quindi l'ordine della Mst_ 4 _i doppia per <& potra scriversi: 



WoOVs+i — "US*-* + uujOi-fc-i — ... + (— 1 )"-*+' u),,_ i+1 . 



(*) Sur I'ordre dc.fi conditions de coexistence den equations algebriques a plusieurs variables [ Crelle „, 

 Bd. 67, 1867). La formola che si usa nel testo non e la formola genuina di Roberts, ma una che le 

 e algebricamente equivalente, II problema di Roberts risultera indirettamente risoluto anche da con- 

 siderazioni che svolgeremo pin tardi. 



