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FRANCESCO SKYIilil 



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2° Le rimanenti b intersezioni non posson provenire da punti semplici di <t>, 

 che questi contribuiscono alle intersezioni preeedentemente contate, ne da punti doppi 

 di <t> che lo siano per V, perche V non ha punti multipli, e dunque proverranno 

 da b punti doppi di <t>, semplici per V. E si noti che in generale non e b = 0, perche 

 se sempre fosse b = si avrebbe fra w , 1%, ..., tu,. la relazione: 



w„a t 



•u),ff M + ... -f-(— l)\u»=0, 



"r-1, 



valida per valori arbitrari (almeno al di sopra di certi limiti) di «,, n, , 

 che e assurdo. Abbiamo dunque: 



iu <r» = jr l + b, 



donde rilovasi l'espressione di b. 



Se sempre essendo h — 2k — 1 e 2&=r, allora e una certa forma di ordine m 

 e alle intersezioni di f con V contate nel caso 2k < r , si aggiungono quelle che 

 cadono nei d punti doppi impropri di V giacche questi, essendo doppi anche per $, 

 giacciono nella varieta NV-* luogo dei punti i cui iperpiani polari rispetto a O pas- 

 sano per un dato Q^_i, la qual varieta, in tal caso, e 1'intersezione delle prime 

 polari di k punti generici di Q. m rispetto a <t>. Anzi in ciascuno dei d punti doppi 

 impropri cadono 2d intersezioni di V con V, appunto perche essi son doppi per V. II 

 resto del ragionamento non subisce modificazioni sostanziali, perche le varieta T r '", V f '\ ... 

 che si costruiranno successivamente seguendo il concetto che ci ha guidato nel caso 

 24 <r, non passano pei punti doppi di V, come si e gia notato. 



Siamo adesso in grado di enunciare: 



Una varieta <K dello S„ complete intersezione di r — h forme di ordini n u n 2 , ..., n,_ 4 , 

 la quale sia obbligata al passaggio per una V t generate (k < h , 2k < r) di ceti w,„ w„ w 2 , ..., 

 se & 2k>h+l, viene in conseguenza ad avere sopra V una Mtm doppia di ordine; 



uJ oVt + i — u^ov, + iu 2 ov 



(- 1)* 



ove o"v denota la somma dei prodotti di n x — 1, ..., n,_i — 1, combinate ad i ad i con 

 ripetizione. 



E inoltre : 



Una forma a" ordine m, dello S, , la quale sia obbligata al passaggio per una varieta V c 

 generale di ceti w , iu,, uj 2 , ..., uu r _ B , se 2k>r, viene in conseguenza ad avere una M !t _ r 

 doppia di ordine: 



1 1 r ~ k 



I uj (uj — 1)— - 2 -I,uj, 



nella varieta dei punti doppi impropri di V e una M B _,. doppia di ordine: 



y-k r—k 



I (—!)'( m — lf-'-'uij + Iiu, — uj„(lu„ — 1) 



in punti semplici di V. 



I casi piti generali considerati in questi enunciati si riducono 

 considerati nel ragionamento. mediante sezioni. 



Mbito a quelli 



