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SULLE INTERSEZIONI DELLE VAEIETA ALGEBKICHE, ECC. 



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8 4. 



Caratteri d'immersione di una varieta in un'altra. 



8. — Quando una varieta e contenuta in un'altra, ci sono dei numeri i quali 

 caratterizzano il modo con cui quella varieta e contenuta nell'altra, come gia osser- 

 vava il Caporali nella lettera citata. Questi numeri noi li chiameremo caratteri d'im- 

 mersione: essi, pur rimanendo fissi i caratteri gia definiti della varieta considerata 

 in relazione con l'ambiente lineare die la contiene, sono arbitrari, almeno entro certi 

 limiti. 



Cosi e ben noto che una retta puo esser contenuta in due modi diversi sopra una 

 rigata cubica F 3 dello S 4 : o e generatrice o e la direttrice minima di F. Nel 1° caso 

 i piani tangenti a F nei punti di essa retta riempiono una M s del 1° ordine (uno S s ); 

 nel 2° caso i piani tangenti a F nei suoi punti riempiono un cono quadrico a 3 dimen- 

 sioni (di 2" specie). Similmente su F 3 una quartica (razionale, normale) pub esser 

 contenuta in due modi e corrispondentcmente all'uno o all'altro modo si ha che la M 3 

 dei piani tangenti a F nei punti di essa e del 5" o del 7° ordine. — Gli esempi si 

 potrebbero cosi moltiplicare. 



Abbiasi una <t>,, la quale sia contenuta con una certa mol tiplicita in una V t , ed 

 entrambe siano immerse nello S r . — Si chiamera carattere d'immersione (o , a t , ..., Oj) 

 di in V, l'ordine della M i+h _, : dei punti di contatto degli S, : tangenti a V in punti 

 di c appartenenti alia figura [« (l , a u ..., «J; ove 



d = Ta, + \k{k+Z) - (k + l)r. 



In particolare chiameremo classe d'immersione a ( (» = l, 2, ..., h) di <t> in V. l'or- 

 dine della j¥ 4 _i dei punti di contatto degli S t tangenti a V in punti di , appog- 

 giati ad un dato »S,_t +i _. secondo uno S,^; e ceto d'immersione y { di * in V l'ordine 

 della M h _i dei punti di contatto degli S t tangenti a V in punti di *. appoggiati in 

 un punto ad un dato S r _i_,. 



Se r>h-\-k la considerazione dei ceti d'immersione ha senso da i = \ fino ad 

 i — h; se r < h -\- k la considerazione dei ceti d'immersione ha senso da i = 1 fino 

 ad i = r — k. 



9. — Se, essendo r<h-\-k, la V t , di cui al n° precedente, e generale, e la 

 varieta <t> h e genericamente contenuta in essa, allora la M !t _ r dei punti doppi impropri 

 di V incontra la <t> in una varieta ad h -|» k — r dimensioni. della quale vogliamo 

 trovare l'ordine. 



Bastera limitarsi al caso r = h + k , perche secando con un conveniente spazio, 

 nel cercare l'ordine incognito, a questo caso ci riduciamo. — Nel caso in cui r = h-\-k 

 la O, di cui diciamo u l'ordine e y u y it ..., y,_ k i ceti d'immersione, seca la varieta 

 doppia di V, di cui diciamo p l'ordine, in un numero finito d[h, k] di punti. 



Per un punto dello $,. escono co 1 rette appoggiate a O e ulteriormente a V, 

 e costituiscono un cono l~, il cui ordine si ottiene facilmente secando con un iper- 

 piano per 0. In questo iperpiano otteniamo una varieta & k — 1 dimensioni sezione 



