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SULLE INTERSEZIONI DELLE VARIETA ALGEBRICHE, ECC. 



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Accoppiamo gli S,_ 3 di TT in guisa che una coppia sia costituita da uno S r _ 3 , a, 

 passante per uno spazio di X, e da uno S r _ 3 , a', passante per uno spazio associato 

 di V . Otteniamo in TT una co'- ! algebrica di coppie <xa' : le eoincidenze che in essa 

 si presentano (sono in numero finito, sempre per l'ipotesi che V e V siano situate 

 genericamente), si hanno preeisamente negli <Sy_ 3 che contengono una coppia di spazi 

 associati. II numero di tali eoincidenze si ottiene sommando gli indici della corri- 

 spondenza. — Per i-esimo indice della corrispondenza (t — 1, 2, ..., r — 1), s'intende 

 il numero delle coppie il cui spazio a passa per un dato »?,_»_,, mentre a' passa per 

 un dato .S',_, (*). 



Siccome imporre ad uno S r _ 3 di TT il passaggio per uno S r _ 2 _t equivale ad r — i — 1 

 condizioni semplici, e siccome gli spazi a sono oo' + '~ , '~ , , dovra essere 



1 < h + r - 



1, 



i>k — h: 



e similmente siccome gli spazi a' sono co' H ' "■" ', e imponendo ad uno 5' r _ 3 di TT il 

 passaggio per un dato S,_ 2 gli imponiamo « — 1 condizioni semplici, dovra essere 



l<h + r — k' — 1, 



i<k. 



Per valori di i che non soddisfino alle precedenti disuguaglianze, si avranno 

 termini nulli nella somma che dobbiam caleolare. Se poniamo i — k~-h = l, dovra 

 essere 



< I < h. 



Per ogni coppia a a' tale che a passi per un dato S,._ k+h _,^ s , mentre a' passa per 

 un dato Sy_ fo+ i_j, esiste uno Ss_ s di T che incontra lo S r _n_)_|_j dato, secondo uno 



mentre uno S w _ 2 associato incontra lo S r _ 



dato, secondo uno Sj_i; ossia 



esiste uno S t , tangente a V in un punto di F, che appoggiasi alio S r _ i+k _ i _ l secondo uno 

 S ( _ H] mentre uno S t tangente nello stesso punto a V, si appoggia alio S r _„, + ,_ 2 secondo 

 uno Sn. E cib avviene corrispondentemente ad un punto comune alia M{ h _l' +l luogo 

 dei punti di contatto su V degli S t tangenti, che si appoggiano al dato S , r _ )H . k _i_ 8 se- 

 condo uno S»_ M , e alia MfcLi dei punti di contatto su V degli S t . tangenti, i quali 

 si appoggiano al dato S,_ l , + ,_ 3 secondo uno S,_,. Si ha dunque: 



h 



u,, = Z,p'iPi_,. 







L'ultima classe di F, seguendo le nostre notazioni, si esprime mediante un poli- 

 nomio isobarico di peso h, nelle classi di f e V. 



Dopo cib e facile caleolare l'i-esima classe \x t di F, giacche u f non e altro che 

 l'ultima classe della M t sezione di F con un generico S r _ k+i . Se si ricorda che. le 

 classi d'un certo indice della sezione generica d'una varieta sono uguali alle classi 



O Cfr. Pieri, Nota di Palermo, citata al n° 2. — Cfr. pure il frammento : Sulla tearia degli spazi 

 a piii dimensions, nelle Memorie, gia citate, del Caporm.i. 



