SULLE 1NTERSEZI0NI DELLE VARIETA AL8EBKICHE, ECC. 



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esser nulli, e quindi se vogliamo estendere il sommatorio precedente da ad r — 2h, 

 bisognera attribuire il valore a quelle iu, o a quelle uj', che, a causa dell'indice, 

 divengon simboli privi di senso (*). 



Cosi p. e.: La formola che precede per k = 2, fc' — r — 1, offre il modo di cal- 

 colare la classe (1° rango) della curva comune ad una forma e ad una superficie 

 dello S,. (**), e il ragionamento, in tal caso, non differisce in sostanza da quelle- che 

 si fece per la determinazione delle classi. Mantenendo le notazioni di prima abbiamo: 



Vi =UJ r _ 2 UJ : . 



Ivi i simboli uu,_, , u 

 alio 0, si avra: 



. + ...-)- UUjUu'.! -j- WiUj'o 



- tu„iu i. 



..., uj'_, non hanno senso, e quindi, ponendoli uguali 



: W,Ul'„ -f- W„Uj' I = p 1 p'„ + p p',, -■ 



come ci da la formola del n° precedente. 



Se 27i = r , allora l'ultimo eeto v ( e il numero degli S h tangenti ad F passanti 

 per un punto 0. Gli S t tangenti a V, passanti per 0, formano coi loro punti di con- 

 tatto una M,,/s r ", e cosi gli S k , tangenti a V e passanti per la toccano nei punti 

 di una M^Jlf. Se V e V sono in posizione generica, nel senso precisato, per ogni 

 punto comune alle varieta dei punti di contatto, si ha uno S h tangente ad F pas- 

 sante per 0; sicche: 



che e un monomio di peso h. 



Se e 2h>r, il calcolo dell'ultimo oeto v r _» di F, si ridurra per mezzo di una 

 sozione con uno S ltr _ h) , al caso precedente. 



In ogni caso poi gli altri ceti si posson riguardare come ultimi ceti di conve- 

 nient sezioni spaziali della varieta F. 



Le due varieta Vi e V't, dotate di singolarita qualsiasi, i cui ceti sono rispettiva- 

 mente uj , in,, ...; w' , u)',, ..., se si trovano in posizione generica, hanno comune una 

 varieta ad h(= k + k' — r) dimensioni, il cui celo s-esimo e dato dalla formola : 



v, = Z, uv 



(s = 0, 1, 2, ...). 



L'applicazione replicata di questo teorema, serve a risolvere l'analogo problema 

 per la varieta intersezione di un numero qualsiasi di varieta. 



Si noti che nelle espressioni delle classi e dei ceti di F compariscono soltanto 

 caratteri intrinseci di V e V, e non numeri la cui definizione dipenda dal conside- 

 rare simultaneamente V e V. 



(*) II prccisare come si e fatto prima per le classi, fra quali limiti si deve estendere il somma- 

 torio per ottenere termini non nulli, ci porterebbe ad una distinzione di casi, che e inutile. 



("*) Questa questione e gia risoluta dalle formole del n° precedente, e sotto certe ipotesi restrit- 

 tive, si pub anche risolvere profittando della formola di Nother che da il genere di una curva spez- 

 zata (" Acta Math. „, VIIT, 1886, pag. 182). — Cfr. Ekriques, Bicerche di geometria suite superficie 

 alcjebriche (' Memorie della E. Ace. di Torino ,, (2), t. 44, 1893). 



