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FRANCESCO SEVERI 



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§ 6. 

 ApjtUcazione al caso di una varieta completa inter setsione di forme. 



14. — Un'applicazione notevole, benche molto particolare, dei risultati precedents 

 si pub fare al caso della varieta comune ad r — h forme, le quali siano in posizione 

 generica, e siano generali nei loro ordini (prive di punti multipli). 



Siano V, V", ..., F (r-1) le forme date, delle quali diciamo n u n z , ..., «,_» gli ordini 

 rispettivi. L'ipotesi della genericita della loro posizione si pub in tal caso esprimere 

 brevemente dicendo che esse non si toccano in nessun punto comune. Calcoliamo i 

 ceti e le classi della varieta F h , comune alle forme date. Chiamando pf ... PJ2-i le 

 classi della forma V [ '\ avremo : 



pfl = »,(», — 11, pj/> = «,(", ^1) 2 > -, pf-x = n i (n i — l)'-\ 



Dei ceti e'e luogo a considerarne uno solo, uif = pi 1 '. 



Sicche, se come al solito rappresentiamo con u k l'ultima classe di F, applicando 

 h — 1 volte il teorema del n° 12, verra: 



Uj = n,« 2 ... n r ^ X(n, — \)'(n 2 — 1)' ... («,. 



■1)', 



ove il sommatorio e esteso a tutte le soluzioni intere e positive (zero incluso) 

 dell'equazione : 



Cosi se 2h<r, al qual caso ci dobbiamo sempre ridurre pel calcolo dei ceti, 

 applicando h — 1 volte il teorema del n° 13, avremo: 



v, l = n,» 2 ...«,_ k X(«. J — l)(«f— 1) ...(«i— 1), 



v h denotando l'ultimo ceto di F, e il sommatorio essendo esteso alle 'combinazioni 

 semplici, di classe h, degli indici 1, 2, ..., r — h. 



15_ _ Vediamo come a queste medesime formole si pervenga, in questo caso 

 semplice, mediante la considerazione delle varieta Jacobiane, come appunto fa il 

 Caporali per alcuni problemi delta S { , nei citati frammenti (*). 



Siano f l =0,f, = 0, ..., /v_,, = le equazioni delle forme V. Determiniamo uno 

 SU delta S, mediante le equazioni /U +l = 0, f r _ k+z = di due iperpiani per esso. 

 La varieta M,_ h luogo dei punti tali che gli iperpiani polari di ciascuno di essi 

 rispetto alle r — h + 2 forme date (le V ei due iperpiani per lo S r _ 2 ) hanno comune 

 uno S„_i, ossia il luogo dei punti tali che gli iperpiani polari rispetto alle V, si 



(") E per l'uso delle Jacobiane che i resultati del Caporali non hanno sempre quel grado di 

 generality, che noi richiediamo. 



