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SULLE INTERSEZIOHI DELLE VARIETA ALGEBRICHE, ECC. 



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CAPITOLO TERZO 



§ 8. — Xe velazioni che legano i caratteri di due curve 

 che insieme costituiscono la completa intersezione di due varieta. 



17. — Nello 8, si abbiano due varieta V% e V' t , +l (k-\-k' =r), di ordini rispet- 

 tivi p , p' e di prime classi p, e P',, le quali, all'infuori di una curva C di or- 

 dine u e classe (1° rango) Hi , che sia linea s-pla ordinaria per V (cioe cogli spazi 

 tangenti a V in ogni punto di C, distinti) e s'-pla ordinaria per V, si seghino in 

 una curva O d'ordine u' e classe u',, la quale si appoggi in d punti a C. Noi 

 supponiamo che ognuno degli s spazi tangenti a V in un punto qualunquc di C 

 non giaccia in un iperpiano con qualcuno degli s' spazi tangenti a V nello stesso 

 punto, eccezion fatta, naturalmente, pei d punti comuni a G e C, in ognuno dei quali 

 accadra che uno spazio tangente a V e uno spazio tangente a V giacciano in un 

 medesimo iperpiano. 



18. — Siano z L e l l le classi d'immersione di C in V e V risp., e z\, l\ le 

 classi d'immersione di 0. Si tratta di calcolare u' , u',, d, z\, l\, in funzione dei 

 caratteri analoghi di C e degli ordini e prime classi di V e V. 



Fissato nello S, uno spazio generico TT r _8, diciamo che uno S^ di TT e associate 

 ad uno <S,j._i di TT, quando per lo S, : _ 3 passa uno S t tangente a V e per lo S t ._, uno 

 St tangente a V in uno stesso punto di C. — Cerchiamo quante volte accade che due 

 spazi associati abbiano comune un punto, ossia giacciano in un medesimo iperpiano 

 di TT. Appajamo gli <S' r -3 di TT in guisa che una coppia sia costituita da uno S r _ 3 , a, 

 passante per lo <S,_, traccia su TT di uno S t tangente a V in un punto di 0, e da 

 uno 6' r -s, «'i passante per uno S s ,_i associato. 



Gli indici della corrispondenza son tutti nulli (ved. al n° 12), tranne due. L'uno 

 denota quante coppie a a' hanno lo spazio a passante per un dato S r _ t _ l} mentre a' 

 passa per un dato S t _ 3 ; il quale indice uguaglia il numero dei punti comuni a C e 

 alia i¥j_! dei punti di contatto degli S t tangenti a V e appoggiati al dato S r _, : ^ in 

 un punto, moltiplicato, quel numero, per s', giacche per ogni S t tangente a V in un 

 punto di C e appoggiato al dato <S r _ { _, , si hanno s' spazi tangenti a V, che danno 

 su TT altrettanti spazi a' essendo fissato un S t _ 3 per cui questi a' debbon passare. 

 — Inoltre non e nullo 1'indice che denota quante coppie hanno lo spazio a passante 

 per un dato S r _t_s, mentre a' passa per un dato St_,\ il qual numero si ottiene ana- 

 logamente scambiando l'ufficio di V e V. 



Le coincidenze si hanno negli S,_ 3 di cui ognuno congiunge uno S t _ 2 e uno S t ,_ s 

 associati, relativi ad un punto di C la cui tangente si appoggia a TT, e negli S r _ t tracee 

 su TT degli iperpiani tangenti comuni a V e V nei d punti comuni a Ce C". Onde: 



(1) 



|i t ss' + d = z { s' + t, S , 



dalla quale: 







d = ZiS' -f- L L s — i^ss'. 



Seme II. Tom. LII. 





