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SULLE INTERSEZIONI DELLE VAKIETA ALGEBRICHE, ECC. 



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Si noti che nelle espressioni precedent! non compariscono numeri la cui defini- 

 zione implichi la considerazione simultanea di V e T". 



19. ■ — II metodo seguito al n° precedente, permette di risolvere un problema 

 notevole nello spazio ordinario. 



Sono ben note le formole di Salmon che legano i caratteri di una curva che sia 

 doppia per una superficie e semplice per un'altra, ai caratteri della ulteriore inter- 

 sezione di queste due superficie (*). Ma un problema che presenta maggiore interesse 

 e ehe non e risoluto dalle formole suddette, e quello di trovare i caratteri della ulte- 

 riore intersezione di due superficie F, F', che hanno comune una linea nodale per F 

 dotata di un numero finito di punti tripli e triplanari (per essa e per F) e di un nu- 

 mero -finito di punti cuspidali. Questo caso e veramente notevole, giacche se la super- 

 ficie F non ha altre singolarita che quella linea doppia, la superficie F' e una superficie 

 aggiunta ad F. Mediante le formole che noi troveremo si potrebbero quindi stu- 

 diare projettivamente (cioe fissandosi sullo speciale modello F) molte proprieta che ap- 

 partengono alia geometria sopra una superficie, poiche e noto che per trasformazioni 

 birazionali una superficie dotata di singolarita qualsiasi possa sempre ridursi ad una 

 superficie con una linea nodale, avente un numero finito di punti tripli e cuspidali. 



La F sia d'ordine n, abbia una linea nodale t di ordine b, rango q, con ;' punti 

 cuspidali e t punti tripli (**) ; e la superficie F' sia di ordine m . La F' avra neces- 

 sariamente, poiche passa per T, t punti doppi, nei punti tripli di T- Diciamo f' l'ul- 

 teriore intersezione di F e F', V il suo ordine, q' il suo rango, iu il numero dei punti 

 in cui essa incontra la linea f. Si vuole esprimere b', q', ui in funzione dei caratteri 

 di F, e di m. Notiamo subito che: 



b' = mn — 2b. 



Eppoi assunta nello spazio una retta s si chiamino omologhi due punti P, P di 

 essa quando per P passa il piano tangente ad F in un punto di t' e per P il pian 

 tangente a F' nello stesso punto. — La prima polare di P rispetto ad F seca t', 

 fuori degli w punti d'appoggio su y, in *'(" — 1) — "> punti, e il pian tangente a F 

 in ognuno di questi punti seca s in un punto P omologo di P. — La prima polare 

 di P rispetto ad F' seca t' in b'(m — 1) punti, ciascuno dei quali da origine ad un 

 punto P. Sicche sono: 



b'(n -\-m — 2) — u) 



le coincidenze. — Di queste se ne hanno q' nei punti in cui s incontra la svilup- 

 pabile osculatriee a j', e uu nei punti in cui i piani tangenti comuni a F e F' tagliano s. 

 Onde: 



b'(n + m — 2) — ui = j' + uj (***). 



(*) Cfr. Salmon, Geomttrie a trois dimensions, 2 rae partie, n° 357. 



(**) Qui usiamo per indicare i caratteri di F le stesse notazioni che trovansi nei trattato del 

 Salmon-Fiedler, e in Zeuthen, Revision et extension, etc. ( u Math. Ann. „, t. X, 1876). 



(***) Questa relatione si poteva anche ottenere con la considerazione della Jacobiana di F, F e 

 una retta ; ma non cosi per la relazione successiva. 



