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FRANCESCO SEVEHI 



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Ed ora sulla s consideriamo un'altra corrispondonza fra le coppie di punti RR', 

 ossendo It segnato su s da un pian tangente ad F in un ptmto di T ed R' dal pian 

 tangente ad F' nello stesso punto. 



Se diciamo p la classe della sviluppabile dei piani tangenti ad F nei punti della 

 linea doppia, saranno manifestamente p i punti R' omologhi di un dato R. — I piani 

 tangenti ad F' in punti di T, i quali passano per un dato punto R' ', sono b(m~l) — St, 

 perche la prima polare di R! rispetto ad F' passa semplicemente pei, t punti tripli 

 di t; e da ognuno dei punti di contatto di questi piani tangenti provengono due 

 punti R corrispondonti ad R'. E dunque sono: 



p -j- 2b(m — 1) — 6< 



le coincidenze ; delle quali se ne hanno 2q nei punti in oui s incontra la sviluppabile 

 osculatrice a T, e uj nei punti in cui i piani tangenti comuni a F' e F' ineontrano s. 

 Sicche: 



p + 2b(m — 1) — 6« = 2q + uj. 



Per le note formole di Salmon-Zeuthen sulle singolarita delle superficie, si ha: 

 32 = i(jj — 2) — p, p = q- 



e quindi, sostituendo nella precedonte relazione, verra: 



uj = 2b(m — u -f 1) + q + - ;. 

 E siecome: 



</ = (mn — 2b) (n -\-m — 2) — 2uu , 



sostituendo il valore di w, ottevremo: 



({ = mn(m + »-2)- 2b(3m — n) — 2q~ 3/ (*). 



1 . 



(*J Applicando queBte formole determinai 3a postulazione di una superficie F irriducibile dello 5,- 

 per le forme di ordine m, osaia il n° delle condizioni ehe s'impongono ad una forma di ordine m 

 (abbastanza grande) obbligandola a contenere la F. ~- 11 prof. Enriques, al quale scrissi di questa 

 ricerca, mi avverti che da alcune proposizioni di geometria sopra una superficie, combinate insieme, 

 faoilmente si deduceva la postulaziono di F. — Poiche si tratta di cos.a interessante, cbe non e stata 

 esplicitamente notata, riporto qui la sostanza di quanto mi acriase il prof. P]nriques. 



Anzitutto si osservi ehe se nello S r e data una superficie F n irriducibile, pi-iva di linee multiple, 

 le forme di ordine m>n — 2, segnano su essa un sistema lineare, \C\, completo. Difatti e noto die 

 aopra una sezione iperpiana generica, nelle nostre ipotesi, le forme di ordine m>n— 2 segnano 

 una serie lineare completa {non speciale), e quindi \C\ non pub esser contenuto totalmente in un 

 sistema piii ampio (ved. la Introduzione alia ijeometria sopra le superficie algebriche, del prof. Enriques). 

 — Siecome poi il multiplo secondo k di un aistema lineare, almeno c»' J , privo di curve fondamen- 

 tali proprie, e regolare, quando k e abbastanza grande (Castelnuovo), ne viene che se F e dotata 

 di soli punti nmltipli impropri, ed m e abbaatanza grande, le forme di ordine m segnano au F un 



