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SULLE INTERSEZIONI DELLE YATtlETA ALGEBRICHE, ECC. 



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§ 9. — Relazioni fra i caratteri dl due superficie 

 cite insieme costituiscono la completa interse&ione di due forme nello S. t . 



20. — Trattiamo a parte questo caso, che rientra nel probleraa di determinare 

 i legami fra i caratteri di due superficie che insieme costituiscono la completa inter- 

 sezione di due varieta nello S r , anzitutto perche, volendosi mettere nelle condizioni 

 piii genflrali, le superficie parti, se siamo nello S t , vanno supposte dotate di punti 

 doppi impropri, eppoi perche una forma dello 8 4 che passi per una superficie e obbli- 

 gata ad avere punti doppi in punti semplici della superficie, il che non accade se la 

 dimensione dello spazio ambiente supera il 4 (*). 



Siano F ed F' due forme di ordini risp. p e p' dello S 4 , le quali s'intersechino 

 secondo una superficie spezzata in due parti: una parte <t> di ordine u , di classi u,, u 2 , 

 di secondo. ceto v 2 , e una superficie <t>' i cui caratteri, analoghi ai precedenti, siano 

 Ho, M-'i, u' 2 , v' 2 . Supponiamo pure che <t> e <t>' siano due superficie generali dello S t . 

 Queste ipotesi si potranno realizzare nel modo seguente. Si parta dalla superficie 

 generale O e per essa, in modo affatto generico, si conducano le due forme F, F' di 

 ordini cosi grandi che questa costruzione sia possibile. Queste due forme s'interse- 

 cheranno ulteriormente in una superficie <P', che tagliera <t> in una curva C (di or- 

 dine e„ e classe o primo rango ej lungo la quale F ed F' si toccheranno, e la 0' 

 avra punti doppi soltanto nei punti doppi impropri di <t> (ved. la mia Nota di Palermo, 

 al n" 14). Si tratta di vedere che i punti doppi di <t>' sono impropri, per poter dire 

 che 4>' e generale. La cosa e evidente se i punti doppi di <t> sono impropri di I s specie; 

 che allora, detto P uno di essi, i coni quadrici tangenti a F e F' in P avendo gia 

 comuni due piani di different! sistemi, si secano ulteriormente secondo due altri piani 

 di differenti sistemi, che son tangenti a <t>' in P, il quale punto sara dunque per 0' 

 improprio di 1" specie. 



Ma in ogni caso secando con uno S s generico per P, e formando lo Jacobiano 

 delle due forme f e f (sezioni rispettive di F e F') e di due piani, facilmente si 

 scorgera ch'esso possiede un punto doppio in P; e quindi siccome Pb doppio per cp 



sistema \C\ completo e regolare. 11 grado di \C\ h nm 1 , il genere e »( 2 )-l-m(p — l)-(-l, se p e 

 il genere di una sezione iperpiana di F, e quindi la dimensione di \C] e : 



n>n s — "('") H" m (p — 1) 4- 1 1 +/'" L - 1 =«[ 2 J — tn(p — 1) -f-J>»i 



ove p n e il genere numerico di F. — Sicche la postulazione e espressa da: 



n[ 2 J — m{p — l)-\-p,i -f- 1. 



(*) U Caporali all'ultimo numero dei citati frammenti, si occupa del problema che ora trattiamo; 

 ma dalle poehe cose scrittc si rileva che egli escludeva che le due parti superficiali avessero punti 

 doppi, e che le forme che s'intersecano dovcssero avere punti doppi in punti semplici delle due 

 superficie. — So hi prima ipotesi restringeva il problema relativamente alia natura delle superficie 

 considerate, la seconda riduceva la trattazione valida solo per particolari valori degli ordini delle 

 due forme (ad es. le due forme avrebbero dovnto avere lo stesso ordine, ma cib neppure sarebbe 

 bastato) come lo mostra la proposizione del n° 7. 



