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FRANCESCO SEVER! 



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(sezione di <t>) quattro intersezioni di quello Jacobiano con <p cadranno in P; le altre 

 intersezioni proverranno dai punti di contatto delle u, tangenti di <p appoggiate alia 

 retta comune ai due piani (giacche P essendo doppio improprio per <P, la ep ha la 

 stessa classe di una sezione spaziale generica), eppoi dai punti in cui f, f hanno lo 

 stesso piano tangente. E dunque avremo: 



Mo(Po + p'o — 2) — u ; - 4 



punti in cui f, f, e quindi F e F, si toccano (fuori di P). 



Se noi avessimo secato con uno S 3 generico, applicando alle snperflcie sezioni e 

 alle curve ad esse comuni, formole note dello spazio ordinario (che sono casi parti- 

 colari delle formole del n° 18); avremmo ottenuto: 



(1) u' = PoP'o— Mo, u'i = (poP'o— 2u 6 )(Po+P'o— 2) + |»i, e = u»(p + p'o — 2)— u lt 



e quindi il numero dei punti di uno S 3 condotto genericamente per P, nei quali si 

 toccano, fuori di P, le due forme F e F' e uguale ad e„ — 4, dai che rilevasi che 

 il punto P giace su C ed and i quadruplo per questa curva. 



Cib posto, ripetendo sopra la curva cp' (sezione di *' con lo S 3 condotto per P), 

 della quale diciamo (u\) il rango, il ragionamento gia fatto sopra la cp, si arriva alia 

 conclusione che sono: 



u' (Po + P'o - 2) - (U'O - 4 



i punti del dato S„ diversi da P, nei quali si toccano F e F'. Sicche: 



"o(P» + P'o — 2) - Mi - i = M'ofPo + P'o - 2) - (u\) - 4 , 

 dalla quale: 



(u'O = (Pop'o — 2u ) (p„ + P'o — 2) + Mi , 



ossia, in virtu delle (1) : 



(M'i) = M'i, 



la quale prova che P e un punto doppio improprio anche per *'. 



Profittando delle stesse considerazioni fatte nei caso che P sia doppio improprio 

 per <t> e *', si trova che secando con uno S 3 generico per P, se questo e semplice 

 per * e <t>' e per F, F' , le due ultime forme, fuori di P, si toccano in e — 1 punti 

 del dato S 8 ; il che prova che P giace semplicemente su C. 



E cosi se P semplice per <t> e <t>' e doppio per una (sola) tra le forme F, F', si 

 trova pure che P giace semplicemente sopra C. — Avendo ora fatte sopra il punto P 

 comune a * e *' tutte le possibili ipotesi, si potra concludere che le due super- 

 ficie e 0' fuori di C non hanno punti (isolati) in comune. 



II problema di cui ora ci occupiamo ha per iscopo il calcolo dei caratteri di <t>', 

 dei caratteri e„, e, di C, e' delle classi d'immersione di C in * e *', in funzione dei 

 caratteri assegnati di <P e degli ordini di F e F'. Le (1) sono dunque tra le formole 

 che vogliamo stabilire. 



Passiamo ora a calcolare gli altri numeri incogniti. 



