35 



SULLE INTERSEZIONI DELLE VARIETA ALGEBRICIIE, ECC. 



95 



Se d indica il numero dei punti doppi impropri di <t>, tale sara il numero dei 

 punti doppi impropri di <t>' e avrerao le relazioni: 



v 2 + 2d = Mo(Mo — 1) — Mi 

 v's 4- 2d = (I'oOi'j — 1) — u\ 



dalle quali rilevasi: 



■ V 2 = u' ("'o — 1) ■ 



•HoOo — 1) + fi> 



03sia tenendo presenti le (1), otteniamo: 



(2) V, = v 2 + (p p' o - 2m„)( Po - l)(p'„ — 1). 



Sia b il numero dei punti doppi che F e obbligata ad avere in punti semplici 

 di <t> (*) e b' il numero dei punti doppi che F e obbligata ad avere in punti sem- 

 plici di 0. Dicendo X la classe dell'inviluppo degli S 3 tangenti a F e F nei punti 

 di C, verra: 



A-+4d + b = e„(p -l), 



giacche delle intersezioni di C con la prima polare di un punto generico dello spazio 

 rispetto ad F, id cadono nei punti doppi impropri di <f>, perche ognuno di essi, che 

 e 4-plo per C, appartiene alia polare suddetta essendo doppio per F, b cadono nei 

 punti semplici di * che sono doppi per F (**), e infine le altre intersezioni, prove- 

 nendo da punti semplici di <t> e di F, eorrispondono ai punti di contatto degli >S 3 

 tangenti comuni a F e F e passanti pel dato punto. — Analogamente : 



X+4d + b' = e (P' -l). ■ 



Considerando le intersezioni di <t> con la superficie comune alle prime polari di 

 un punto dello S 4 rispetto ad F e F, le quali sono in numero di Mo(Po — l)(P'o — 1)> 

 troviamo che di queste intersezioni X cadono nei punti di contatto degli <S 3 tangenti 

 comuni a F e F, passanti pel dato punto, 2d nei punti doppi impropri di F, e v 2 

 nei punti di contatto dei piani tangenti a * passanti pel dato punto. Onde: 



X-f 2d + v 2 = Mo(Po — l)(P'o — 1). 



Ricordando poi che v 1 -\-2d=\i l> (\i (l — 1) — u^ avremo: 



X=Mo'Mo — e . 



(") Noi gia conosciaino V espressione cli b in funxione dei caratteri di ^ e dpll'ordine di F 

 (ved. al n° 7J, ma vedremo che pel seguito e inutile questa espressione. Fra le altre giungeremo a 

 ritrovare, per altra via, anche la formola clie da o. 



(**) Ogni punto sempliee di <fc, che sia doppio per F, giace sopra C, perche la completa inter- 

 sezione di F e F' deve avere in esso un punto doppio. 



