37 SULLE INTERSEZIONI DELLE VAEIETA ALGEBRICHE, ECC. 97 



Ox- si consideri la curva r luogo dei punti di contatto dei piani tangenti a (J) appog- 

 giati a una data retta generica a, e in ogni punto di r tiriamo lo S 3 , I, tangente a F 

 in esso, e lo S S ,I', tangente ad F'. Avremo una co 1 di coppie II', in cui si pre- 

 sentano s, coincidenze, nei punti in cui V incontra C. II numero z v e dunque uguale 

 a) n" delle coppie II' il cui I passa per un dato punto, che e espresso da Mi(p — 1), 

 essendo u 1 l'ordine di l~, piti il n° delle coppie il cui I' passa per un dato punto, 

 che e espresso da Mi(p'n — 1), meno il numero delle coppie il cui piano II' appoggiasi 

 a una data retta generica b, che e espresso da Uj-p-v 2 , come vedesi facendo appog- 

 giare b alia retta a. Dunque: 



(•'>) 2i = MPo + P'o — 2) — u 2 — v 2 . 



Analogamente: 

 (6) y i = L l ' 1 (p„ + p'-2)-n' ! ^v' 2 . 



E sommando membro a membro: 



% + »'i = (Mi + P'O (Po + P'o — 2) — u 2 — u'. — v 2 — v' e , 

 ossia: 



X + e; = (n t + u',) (p + p' — 2) — u,, — u' 2 — v 2 — v', . 



dalla quale, sostituendo al posto di X, t, u \x\, v' 2 i valori gia calcolati, si trae una 

 espressione di n' 2 in funzione dei numeri che abbiamo assunti come noti. Non stiamo 

 a trascrivere questa espressione di u' 2 , e la espressione (in funzione degli stessi 

 numeri) di z\, la quale si otterrebbe dalla (6) sostituendoci i valori calcolati 

 di \x\, u'j, v' 2 , perche nell'applicare le formole a casi numerici, sara piii conveniente 

 calcolarsi i vari caratteri incogniti seguendo l'ordine col quale abbiamo ottenuto gli 

 stessi caratteri in generale. 



Riassumendo : 



Se per la superficie generale <t> dello S 4 , di caratteri n , n, , u 2 , v 2 , dotata di d punti 

 doppi impropri, si fanno passare genericamente due forme FeF' risp. di ordini p e p' , 

 esse si secano ulteriormente in una superficie <t>' che ha d punti doppi impropri negli 

 stessi punti doppi di <t>, ed ha comune con <t> una curva C, ma nessun punto esterno a C. 

 La C e dotata di d punti quadrupli nei punti doppi impropri di <$>. I caratteri u'„, u',, u' 2l v' 2 

 di 0', i caratteri € , € t di C, e le sue classi di immersione z, e z\ in <t> e <t>', si sanno 

 tutti calcolare in funzione dei soli numeri u , u,, p i: v 2 , p , p'o- 



Nelle espressioni dei numeri incogniti non compariscono dunque numeri la cui 

 definizione dipenda dalla considerazione simultanea di F e F', come sarebbe ad es. 

 il numero denotato con X. 



21. — Dall'uguaglianza : 



X + id + b = i (p - 1), 



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