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sostituendoci i valori di X, e , d, dati dalle formole: 



X— u„(p p'„ — Mo) — MofPo + P'o — 2) + n, , e„ = u (p„ + p' — 2) — M-i, 



d = YlWo — I)™ 2 Mi— -g v ;> 



si trae : 



6 = u„)p (1 (p„ — 2) — u ( — u,p„ + 2(u„ -f Hi + v.) , 



ossia tanti sono i punti doppi che s'impongono, in punti semplici di <t>, alia forma F, 

 di ordine p , obbligata a passare per O. II qual numero si ottiene anche dalla for- 

 mola del n° 7, ponendovi r = 4, k—2. 



22. — Applicazione. — Costruzione delle superficie di 3° e 4" ordine irriducibili, 

 non coniche, immerse nello S 4 , come inter sezione delle forme di ordine minima passanti 

 per esse. 



Nello Si havvi una sola superficie irriducibile non conica, di 3° ordine, ed e, 

 come si sa, la rigata razionale normale. Essa e priva di punti doppi, e giace in co 2 qua- 

 driche che sono i coni che la projettano da' suoi punti. Si pub dunque ottenere come 

 intersezione parziale di due di questi coni; l'ulteriore intersezione e un piano che 

 taglia la superficie cubica secondo una conica. 



Di superficie del 4° ordine, irriducibili, non coniche, abbiamo, com'e noto, le 

 seguenti : 



a) La superficie di Serp-e a sezioni spaziali ellittiche, razionale, normale nello »5 4 , 

 la quale si costruisce come completa intersezione di due forme quadratiche. — Come 

 caso particolare di essa superficie si presenta la <P 4 con una retta doppia, projezione 

 della superficie del Veronese da un punto di una sua corda. Per la superficie di Segre: 



u = 4, |», = 8, 1^ = 12, v. = 4. d=0. 



b) La superficie rigata, razionale, normale nello S 6 , dotata di un punto 

 doppio improprio. Di quadriche per la <t> ee ne passa una sola che e il cono che la 

 projetta dal suo punto doppio improprio P. Di forme cubiche passanti per * e diverse 

 dagli oo 2 coni che la projettano da" suoi punti, ce ne sono certo, come risulta dalla 

 formola di postulazione (ved. la nota alia fine del n" 19). Da quanto si stabili al 

 n° 20 segue che l'ulteriore intersezione di una forma cubica F, passante per <t> e del 

 cono quadrico F' su eui * giace, e una superficie <J>' di 2" ordine, con un punto 

 doppio improprio, ossia una coppia di piani che hanno comune soltanto il punto P. 

 La 0' tagliera 4> in una curva di 6° ordine e classe 8, la quale dovra avere in P 

 un punto quadruplo. Siccome i piani d'un sistema di F' tagliano <t> secondo cubicho 

 razionali aventi in P un punto doppio, mentre i piani dell'altro sistema contengono 

 le generatrici di <t>, segue che C sara l'insieme di due cubiche piane razionali. — 

 Giaeche i caratteri di *' si conoscono, se ne possono desumere quelli di *, che sono 

 del resto noti, e si ha: 



u = 4 , U! = 6 , u 2 = 4 , v. = 4 , d = 1 . 



