ib SULLE INTERSEZIONI DELLE VARIETA ALGEBRICHE, ECC. 105 



CAPITOLO QUARTO 



§ 11. — Numero del punti in cui si seoano due varieta conveniente- 

 mente estese fuori di una curva per cui esse passano con mol- 

 teplicita date. 



27. — La curva C di ordine u„ e classe u. sia s-pla (ordinaria) per V t e s'-pla 

 per V't, {k + k' = r); z y e z\ siano rispettivamente le classi d'immersione di Cm V 

 e V (ved. al n° 9). Diciamo ancora p e p, l'ordine e la prima classe di V, e p'„, p', i 

 caratteri analoghi di V . Le due varieta abbiano singolarita qualunque, ma siano in 

 posizione generica nel sense che in un punto qualunque di C uno S t ed uno 6',.. tan- 

 gent! risp. a V e V, non giacciano in uno stesso S r _ 2 , e fuori di C si taglino sola- 

 raente in un numero finito N di punti. Si vuole esprimere Nin funzione dei caratteri 

 defmiti di V, I", O. 



II prof. Pieri nella Nota di Palermo gia citata, stabilisce una proposizione, di 

 cui e caso particolare la seguente: 



Le due varieta V e V, di cui sopra, si tugliano fuori di C in 



PoP'o — P-oSs' — X 



punti, ove X denota la classe dell' inviluppo degli iperpiani tamjenti comuni a V e V in 

 punti di C. 



Ma questa proposizione non risolve, dal nostra punto di vista, il probloma che 

 ci siamo proposti, giacche nella espressione di N comparisce il numero X, che si 

 definisce considerando insieme V e V; ma e facile trovare una espressione di .tin 

 funzione dei numeri introdotti prima. 



Se da un punto generieo dello spazio projettiamo tutto in uno $._,, e deno- 

 tiamo con lettere minuscole le projezioni degli enti che oggettivamente denotavamo 

 con lettere majuscole, le due varieta v e v' si tagliano in una curva, c, s-pla per 

 l'una, s'-pla per 1'altra, la quale incontra l'ulteriore intersezione c' in quei punti in 

 cm uno S t tangente a v e uno 8,, tangente a v' giacciono in uno stesso S r _ t ; che 

 sono le projezioni dei punti di contatto degli iperpiani tangenti comuni a V e V 

 passanti pel centre di projezione 0. E quindi in virtu della formola (1) stabilita al 

 n° 18, avremo: 



X=z lS ' + z\s— u lS s'. 

 Sostituendo nella precedente espressione di jV, verra: 



N= P P' — u,,ss' — z lS ' — z\s -f iuss', 

 ed e della forma che noi desideravamo (*). 



C) Se, nelKpoteri speciale s = s ' = l, introduce il oarattere d'immersione X di C m V cioe 

 1 i i degli & *-, per un date ,&-*_, appoggiati a C, e altrove a F, e il carattere V analogo di C 

 in V , supposto poi che C abbia posizione generica in F e V, avremo: 



W = Po P'o - Mo (Po + P'o — 1) + Mi + A + V, . 

 la quale quando r = 4, 4 = 2, ridncesi ad ana dclle formole date dal Capobali nei Frammenti. 

 Seme II. Tom. LII. 



