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In questa varieta di coppie c'e una M h _, di coincidenze costituita dalla sezione 

 con Q della M u dolle tangenti di 0. Ad ogni punto di essa varieta di coincidenze 

 sono annesse infinite rette principal} (contenenti due punti AA' infinitamente vicini), 

 le quali fanno stella attorno a quel punto, nello spazio £,_» traccia su Q dello 

 spazio L relativo a quella coincidenza. Vi sono poi d coincidenze isolate (perfette) 

 nei punti d'appoggio su Q di quegli spazi I' che giacciono nei Z associate 



Calcoliamoci lo i-esimo indioe della varieta di coppie AA', ossia il numero delle 

 coppie il cui A giace in un dato [i] mentre A' giace in un dato [r — h — 1 — i]. 

 Anzitutto, poiche i punti A' sono co", saranno nulli tutti gli indici corrispondenti a 

 valori di i piii grandi di h; dovra dunquo essere 0<i<h. — II luogo dei punti i 

 cui iperpiani polari rispetto a I<\, ..., F h s'incontrano in un punto del dato [i] e 

 una JC-m di ordine I(«, — 1) ... («,,_, — 1) (*) e , similmente, il luogo dei punti i cui 

 iperpiani polari rispetto a F 4+1 , ..., F r _, s'incontrano in un punto del dato [»— h— 1— il, 



r— 1 



e una ,¥,_, di ordine Z(n» +1 — -1) ... (« ft+i — 1). Le due varieta nominate e la 0, si 

 tagliano in un numero finito: 



UoI(»i - 1) ... (n h .i — l/l(«„ +1 — 1) ... ( %+i — 1) 

 di punti. La somma degli indici e dunque uguale a 

 u„i |l(nx— 1) ...Oi^— l)f (»» +1 — 1) ... (« Hi — 1) j = Mo Z(«,_ l)(„ s — l) ...(„, _ i) («), 



Ora ci calcoleremo lo i-esimo rango della varieta di coincidenze, ossia il numero 

 dei punti di un S,, , preso entro Q, in cui coincidono due punti AA' in guisa che la 

 loro congiungento si appoggi a un dato S r _*-i-i,, pure entro Q. Siccome le coinci- 



(') Vcd. al n" 15. Mi premo, per un'osservaaione die farb dopo, di notare die quest' ordine si 

 puo deterrninare con proeedimenti geometrici del tutto indipendenti da quelli di Roberts, come ha 

 mostrato il prof. Piehi nella Nota, Sull'ordine della varieta generata da piii sistemi lineari omografici 

 (' Bendiconti di Palermo „ t. XI, 1897). 



(**} L'identita 



Si | Z(n, -!)...(„ 



' 1, »+{"* +l ~ ■" - ( '"' + '~ 1} ! = ? ( "' ~ 1J "• <*» ~ D ■ 



della quale si fa uso nei testo, si prova ncl modo seguente. Per un dato valore di i moltiplicando 

 le due somme T eZn otterranno (jl,)^ -1 ) prodolti distinti contenenti ciascuno h fattori tutti 

 different! del tipo », - 1. Che poi uno dei prodotti di ft. fattori che si ottengono per il valore i 

 non possa essere uguale ad uno dei prodotti analoghi ottenuti pel valore diverso {, risulta dal fatto 



che ncl primo prodotto saranno contenuti h—i fattori presi dalla succession »,— 1, «j— 1 »»- 1 ; 



mentre nei prodotti corrispondenti al valore f ce ne saranno contenuti h-4', Dunque il primo 

 memhro della relazione di cui s'e fatto uso, contieno |.(,^,.)(''^*"') prodotti different! di ft diversi 

 fattori scelti nella suocessione «, — 1 ,...,n r -i — 1; siccome, notoriamente, Zi ( \,)('~* ~ l ) = f'' _1 ), 



il primo membro suddetto uguagliera la somma dei prodotti analoghi ad (», — 1) ... (w,— 1) corri- 

 spondenti alle combinazioni semplici di classc ft degli indici 1 r — 1. 



