112 



FHAN'CESl'O SEVEBI 



52 



(irazie alia (1) si pub allora concludere : 



11 mmero d pub esprimersi in funzione soltanto di carutteri di <t> e degli ordini 

 delle F. 



Nei n' seguenti si dark l'effettiva espressione di d. 



33. — Nella espressione di d della quale si e provata ora l'esistenza, compaiono 

 evidentemente come coefflcienti degli ordini Ji,, i,, ..., i p , r — h, ..., r — h\' i numeri 

 s t (l = 1, ..., ft — 1), il simbolo s, indicando la somma dei prodotti di % — 1,..., « r _ t — 1 

 combinate semplicemente ad / ad I; ci sara poi un certo polinomio eostituito dagli 

 ordini ji,, %,.„., ip, r — h, ... (' e indipendente dai numeri suddetti; e inline il coeffi- 

 cients di s k (somma dei prodotti di », — 1, ...,»,_, — 1 combinate semplicemente 

 ad h ad ft) sara u = \r — h, ..., r — K\ '. 



Si tratta anzitutto di vedere quale e il polinomio formato dagli ordini 

 J »,,...,»,,»■ — ft, ...,»' — />(', die moltiplica s w per un dato valore di I. — Biso- 



gnera, per tutti i possibili valori di p, cercare quei numeri 



} tj, ..., t p , i 



-ft, ...J' 



pei quali j p (=h + ... + i p + h —p(r — h)) uguaglia h — l, giacche, come rilevasi 

 dalla formola generale (2), ogni numero del tipo ji,, ..., i p , r — h,...\' moltiplica sj p . 

 Dovra dunque essere: 



h + -.. + i p =p(r — h) — l, 



ossia, siccome i L = r — ft — >',, ...,», = »• — h— i' p , (*',, .. .,i' r >l), dovra essere 

 i\ 4- ... + i' T = I, il che e impossible se p > I; quindi intanto p<l. 



Dal modo col quale si forma 1' espressione di d risulta poi che gli ordini 

 )i lt ...,i r ,r — h, ...,?■ — h\' che contengono un numero impari di i (relative a 

 spazi Q,,,... di dimensions inferiore ad r — h), compaiono con coefficiente negativo 

 e quelli che contengono un numero pari di i con coefficiente positivo. Ma dunque il 

 polinomio formato con gli ordini ji,, ..., i,, r — h, ...,»• — h {', il quale moltiplica 

 Sd_i, sara: 



(— l)'[)r— /(— l,f— /i-l,...,r— 7j— l,r— ft, ...,r—h{'— I Ji,,..., j,_„ r—h,...\'+ 

 + I J *„ ..., !,_„ r— ft, ... ;'— ...+(-1)' I J i;,i,,r—h,... !'+(— l)'+ l J r—h-l, r—h, ..., r—h (' |, 



ove i sommatori si estendono risp. alle soluzioni delle equazioni: 



i 1 -f...-H,_ 1 =(*-l)(»— *)—*,..., i l +...+i p =p(r—h)—l,...,i i +%=2(r-^h)-l (*). 



i 



Analogamente si vede che il polinomio formato con gli ordini ]i l ,...,i p ,r — h,...\' 

 e indipendente dalle s, e 



{-lfl\r-h-l,...,r- h-l\'— I|i„.,.,w- /ji'+...+(-l)*+>- 2A,r-/i„.,j'], 



i sommatori essendo estesi in modo analogo. 



(*) Ora e nel nuinero successive parlando delle soluzioni delle suddette equazioni s 1 intendera 

 di soluzioni intere e positive, non superiori ad r—h — 1. Per la piena intelligibility di quanto s'e 

 affermato nel teste, occorre notare che Tunica soluzione (in numeri interi e positivi minori di r — h) 

 dell'equazione i, -}-... -f" « = l{r — h) — I e i, = i, «=... = ii = r — h — 1. 



