114 



FHANCESCO SEVER! 



Quali sono le soluzioni dell'equazione i t + ... + jj= l(r — h) — I — 1 relativa al 

 primo sommatorio che comparisce nella (a")? 



Siccome i, = r — h — i', (j' t > 1), e inoltre »\ +...-(- h-i —(I — 1) (f — ' l — 1) dovra 

 essere »', < 2 , e quindi »i = r — A — 1, r — h — 2. Se i t = r — h — 1 , sara s, -f- ■ • ■ 

 -4- ii-i = (I — l)(r — h) — I; se poi i t z=r — h — 2 sara i, -f- ■■+ H*i— $ — 1)0' — h — 1) 

 e quindi necessariamente i t = ... = *,_: = r — /( — 1. 



Usando della (a) e della (a') si giunge dunque alia conclusione che i termini 



con I fattori in *i,j +1 danno per somma — 2. j»'i j ... j tj l j jjjj, ove il sommatorio si 



estende alio soluzioni dell'equazione i, + ...-)-i 1 = i(r — h) — I — 1. Cos! proseguendo si 

 giunge a giustificare tutti i termini del 2° membro della (a"). 



Moltiplicando simbolicamente i due membri della (a') per la condizione v*-i 

 avremo : 



-.)r—h—l,. 



-h — l,f — h,...,r — h{' — T )i i ,...,i l _ l ,r — h,...['-\- £ )i,,...,i t _ s ,r—h,...['.. 

 ...+(— I)*-')* - — *— l,r—h,...,r—h\', 



ove i sommatori si estendono come nella (a'). — Se ricordiamo che nella espressione 

 di d il 2° membro della precedente uguaglianza e il coefficiente di ( — 1)' s k -i , 

 potremo scrivere 



d = UoS»— UiSj_, + Ma *K- 



-(-l)W ! +...+ (-l)*-- 1 u»-iS 1 +(-l)*u* 



Da questa formola, molto semplice, dedurremo adesso con facilita le altre die 

 risolvono i problemi di cui ci occupiamo in questo §. 



35. — Se per la varieta <t>, di cui finora si e discorso, oltre alle forme F\, ..., F,_ u 

 passa la forma F T , di ordine n„ essa taglia la curva C" di ulteriore incontro di 

 F u ..., F T _ U fuori dei d punti di appoggio di C su 0, in N punti e 



N= e' «, — d. 



Suppongasi d'aver provato che se r — 1 forme di ordini n lt ...,n r -i, dello S,_,, 

 passano per una varieta h — 1 volte estesa (2(/» — 1) < r — 1) di ordine M e classi 

 Hi, ..., Hn, e fuori di essa si secano in un numero finito di punti, questo numero e 

 espresso dalla formola: 



«i» 2 ...«_, — [m s*-i + ( u o— "])%-£ + (Mo — u i +u 2 ) S 4 _8— ...+ (Mo— Mi+ Ma— ...iMi-s) Si + 

 +(Mo— l»i+Mt— ...±M»-i) I- 



ove s, denota la somma dei prodotti di n x — \, ...,n,^i — 1 combinate semplicemente 

 ad i ad i. 



Allora secando le forme F lt ..., F,-i, la <t>, e la curva 6", con un iperpiano gene- 

 rico, si trovera che anche e' e espresso dalla formola ora scritta, e quindi sosti- 

 tuendo nella uguaglianza che da N, e tenendo presents l'espressione di d, si otterra: 



iv"=»,«i...M,.— [U s',,+ (U„— uOs'j-. + CUn— U,+ U 2 )s'i_,— ...+ (|J --...±U, ( _ 1 )s' 1 + 

 + Oo — ...±l*»)], 



|^ 



*d 



