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SULLE INTERSEZIONI DELLE VARIETA ALGEBRICHE, ECC. 



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ove s'i denota la somma dei prodotti di % — 1, ...,n, — 1 combinate semplicemento 



ad i ad i. 



E poiche la relazione precedente e vera quando /i = l, si conclude: 



Se r forme dello S,, di ordini n l , n a , ..., n r hanno comune una varieta generate Q h 



(2h < r) di ordine u„ e classi Hi, Ms; —> M», e fuori di questa si secano ancora in un 



numero finito di punti, qu-esto numero e espresso da: 



n^tii 



• |)Vi'» +(Mo — Uijs'*-! + - + (Ma — Mi + .» ±fi k _i)s'i +(Hn — ".+ ••• ±"*)L 



ove s'j denota la somma dei prodotti di n t — 1, ...,n, — 1 combinate 

 ad i ad i. 



36. — Consideriamo ora lo Jacobiano ./ delle forme JP\, ..., F,^ e di due iper- 

 piani per uno S_ s generico. Poiche gli iperpiani tangenti alle F in un punto gene- 

 rico di O appartcngono ad un sistema lineare co'~''~', nei punti di O son nulli tutti 

 i determinants d'ordine almeno uguale ad r — k -f- 1 estratti dalla matrice : 





■l,...,r — l 



-1 r + 1 



Ne segue , per la regola di derivazione dei determinanti , che nei punti di <t> 

 saranno nulle, per tutti i possibili valori di l L ,l z ,..., le derivate: 



ftxih bx 2 ^ . 



e quindi J avrii <t> come varieta (h — l)-pla. Nei punti comuni a e 6" fra gli 

 iperpiani tangenti alle F se ne troveranno solo r — h — 1 indipendenti, e quindi la 



matrice i -r- 1 - i avra la caratteristica r — h — 1; dal che segue che sara -5 — rr — ; — = 0, 

 I bxj I OXj'idays-. . ' 



per tutti i possibili valori di l\,l t ,...; ossia i punti suddetti saranno /t-pli per J. 



Fuori dei punti comuni a $ e C", la forma J incontra C in punti tali che le 

 tangenti a C in essi si appoggiano al dato Sy_ s , e dunque: 



e'o I (*— 1) = €', 



■hd. 



Concludendo possiamo enunciare : 



Se r — 1 forme dello S, , di ordini Hi, n s , ... ; n r _ l; passano per ana varieta gene- 

 rale (t>j(2h < r) di ordine jj 0) e classi u 1; ...,n», e /'wori di essa si tagliano in una 

 curva di ordine e' 0; classe e', appoggiata a ct> in d jranii, fe espressioni di e'„, d, e'i 

 s« calcolano mediante le formole: 



£'„=«!...»,_!— [MoS, l _ 1 +(u —u l )s t _ a +...+(n„—u 1 +...+uj_ ! )s l +(M„—...±u„_ 1 )] 

 <Z=u s»— Mft-i+UiS,.-,— ...+(— l)''u„ 



o«e Si denota la somma dei prodotti di ni- 

 «<i i nrf i. 



1. 



1 combinate semplicemente 



