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37. — Merita uno speciale cenno il caso particolare in cui cp sia completa 

 intersezione delle forme Ii t , ..., H r ^ k , di ordini Mi, ..., »!,_ h , situate genericamente 

 in modo che <t> non abbia punti multipli. Allora le forme F,, ..,, F,_i passanti per * 

 si potranno esprimere median te le formole: 



F i = A, l H l + ... + A,,_ h H r _ h (*), 



e se noi vogliamo che siano soddisfatte le equazioni F t = senza che lo siano le 

 equazioni H l = 0,..., H r - h = 0, la matriee II- 4 * II (J = 1 '""'Zj) dovra avere la ca ~ 

 ratteristica r — h — 1 . 



II luogo dei punti x che rendono la matriee suddetta di caratteristica r — h — 1 e, 

 pel citato teorema di Roberts, dell'ordine: 



S h — »,_!«,+ S,,_ 2 (J 2 — ... + (— l)'- 1 S i a,_ l + (— l)"ffj 



ove s t denota la somma di tutti i prodotti delle w, — 1, «, — l,...,» r _i combinate 

 semplicomente ad i ad i, e o" 4 la somma di tutti i prodotti delle m 1 — l,...,m,._/ ; — 1 

 combinate con ripetizione ad i ad i. 



La M,_ h || j4, 7 j| = taglia <t> in un numero finito di punti i quali apparterranno 

 alia varieta dei punti in cui F lt ...,F r _i si secano fuori di <l>, ossia alia curva C. 

 Dunque attualmente il n° che in generale si rappresenta con d e espresso da: 



d = num.2 ... J»,_i [s,, — Vi'i -h s t _»o- 2 — ... ~\- (— l)*<rj, 



Introducendo l'ordine Mo e l e classi u u u 2 , ..., u 4 di <p, e profittando delle for- 

 mole del § 6 (che si sanno anche ottenere indipendentemente dal teorema di Roberts), 

 avremo : 



d= MoSft— (Jl«4-1+ UoSi_ 2 — ... + (— l)'*!*, 



che e della forma gia ottenuta in generale (**). 



§ 13. — Numero dei punti commit ad r forme dello 8, fuori di una 

 M h (2h < r) per cui aleune di esse passano doppiamente e le altre 

 semplicemente. 



38. — Per la varieta 0,, (2/t < r) dello 8, passino doppiamente le forme 

 F\,...,F r , di ordini rispettivi » t ,...,« p e semplicemente le forme F p+l , ..., F r , di 



(*) Ved. la mia Nota citata, Rappresentazione di una forma quahmque, ecc. 

 (**) Se non conoscessimo l'ordine <p della varieta l| Aij \[ = 0. mediaiite la espressione calcolata 

 per d ai n' precedenti, e le formole del § 6, avremmo: 



w, m„ ... m T -h cp = mi m 3 ... mr—h Uh — »A— i a, -f- ... -f- ( — l) h a h , 



donde una dimostrazione indiretta della ibrmola di Roberts (sotto un aspetto algebricamente dift'erente). 



