SULLE INTEESEZIONI DELLE VAEIETA ALBEBRICHE, ECO. 



117 



Fuori di <t> le F si taglino in un numero finito di punti. Rappresenteremo con 

 N(h;n 1 ,...,n l ,; w,, +1 , ..., n T ){p > 1) questo numero, e con N (h;Hi, ...,n r ) rappresen- 

 teremo il numero, che abbiamo calcolato al § precedente, dei punti in cui si tagliano, 

 fuori di *, r forme di ordini %,%,...,», condotte genericamente per <t>. 



E facile, mediante considerazioni geometriche semplicissime, trovare una rela- 

 zione ricorrente alia quale soddisfa il numero attualmente incognito. Infatti le forme 

 Fi, ..., F p _ u F r+ i, ..., F r fuori di <t> si secano in una curva C lp ~ Vl il cui ordine e 

 espresso da: 



N(h — 1; «,, ..., n f -i\ «. p+1 , ..., « r ) , 



come vedesi secando con un iperpiano generico. 



Se la forma F p passasse semplicemente per O, essa incontrerebbe , fuori di <t>, 

 la curva C'"'"" in 



N(h; «i, ..., «,,_,; n p , n P+l , .... n,) 



punti e avremmo: 



N{h; «!, ...,«,_!;«,,, .... «,■) = n,N(h—l; %, ..., «,,_i; «p + i , ..., »,) — d tp ~' ] 

 ove rf ( '~" indica il numero dei punti comuni a <t> e C*~". Se ne trae: 



f?f-"= N(h — 1;«!, ...,«,_i;« p+ i. -,»r)«p — A'('*;«i, — > "p-i S *P ' ■.•,«r). 



Ma giacche la forma F r passa doppiamente per <t>, delle sue intersezioni con 

 C 1 "-", lS p - l) cadono in *, e si ha: 



N(h; «,,..., n p ;n p+ _, .... n.) = iV(/t -1 :»,,..., «,_, ; «*.,, ...,«,)», — 2d'"- 11 , 

 dalla quale, tenendo presente l'espressione di d (p ~ 1> , si rileva: 



N(h;n 1 ,...,n p ;n„v,...,n r ) = 2N(h;n 1 n p _. l ;n p ,...,n r ) — N(h-~l;n l ,...,n,,- l ;n p+1 ,...,n r )n p . 



Questa relazione applicata per valori decrescenti di p da facilmente: 

 N(h;n u ...,«,; «,, +1 , ...,«,.) = 2''iV (/t;, !,,...,«,) — 1, 2"-'- '«,+, iV(/i- 1; m, «,-; %+.„...,«,) (*), 



la quale serve a risolvere il problema in ogni easo. 



Cos! applicando la relazione precedente si trova per h = 1 : 

 Se la curva 0, di ordine u e classe Mi, e doppia per le forme Vi,...,T r di ordini 

 rispettivi n u ...,n p e semplice per le forme F,, +1 , ...,F r di ordini rispettivi n p+1 , ...,n,, e 

 inoltre fuori di <t> le r forme suddette si tagliano in numero finito di punti, questo e 

 dalla formola: 



%% ... n r — 2" Mo £ («,— 1) + 2»'-'Mo ^ «. — 2' (Mo— Mi)- 



(*) Al simbolo N(h — 1; »i n, ; m+s Mr), quando i = 0, si dovra attribuire il significato 



del simbolo N a (h — 1; »g, ... , n r ). 



