KISOLUZIONE DEL PKOBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 



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2. — Dimostrazione di due notevoli formole del Pieri senza far uso del 

 principio della conservazione del numero. 



Come si e fatto qui sopra cosi in tutto il presente lavoro indieheremo sempre 

 con [re] lo spazio fondamentale, tranne quando non si avverta esplicitamente il con- 

 trario. Per brevita con o" t (s; m), ove l<4<m — s, indieheremo la condizione carat- 

 teristica (m — s — h,m — (s — 1), ..., m — 1, m) imposta ad un [s] dello spazio [m], il 

 quale appartiene alio spazio fondamentale [re]; e con <; t (s;m), ove l<A;<s -f- 1 , la 

 condizione 



(m — s — 1, m — s, ..., m — (s — k-\-2), m — (s — k), ..., m — 1, m). 



Quando [m\ coincide con [«] e non vi e ambiguita rispetto alia dimensione dello 

 spazio [s], invece di 0" t (s; n) e $i(s; re) potremo scrivere semplicemente o" c e <; t . Non 

 occorre osservare ehe 0" t (s; re) e q t (n — s — 1;«) sono due simboli di condizione duali 

 fra loro. 



Ponendo ora 7j = « — s — k, r = h — 1 rispettivamente nelle formole (-4,^,) e (B,,) 

 della gia citata Nota II s del Pieri, si potra scrivere: 



(I) (rt , c«i, ..., a,) CT t = S, (a — l , «! — l lt ..., a,— I,), 



ove le I sono legate dalle relazioni 



(1) < l < o , < I, < «! — a — 1, ..., < I, < a, — a,_, — 1 ; l -\- l t +... + 1, — k; 

 (II) (« , «!,..., a,)? t = I,(a — »o, «i — h> •••>«. — ».). 



ove le i soddisfano alle relazioni 



(2) 0< i < 1, <h< 1, ..., <», < 1, » + % + ... + i = k. 



Conviene osservare che queste formole si potrebbero dedurre 1'una dall'altra 

 iacendo uso della legge di dualita; inoltre nella (I) le restrizioni (1) sono tali da 

 escludere le condizioni caratteristiche illusorie, mentre nella (II) si debbono togliero 

 tali condizioni. 



La formola (I) fu trovata dal Pieri facendo uso del principio della conservazione 

 del numero, l'altra fu dedotta da questa per mezzo della formola 



(3) (a , «!, ..., a,)i; r+l (s; a,)= I(— l)'-'(a , a,,. ..,«,_„ ...,a,)? r+1 _,(s— 8;a,_,)a,(s-f-l — »';a, +l _,), 



ove e r' =r -(- 1, se a s _, > s + 1, ed invece r' < r -f- 1, se a,_, < s -f- 1 , cioe r' e il 

 massimo intero minore od uguale ad t'4-1 per cui <J ; (s -|— 1 — i, a, +1 _ t ) non diventa 

 privo di senso; qui poi, come in tutto il paragrafo, la sbarra sopra una medesima 

 lettera in due o piii simboli d'un prodotto significa che lo spazio rappresentato da 

 quella lettera e il medesimo in tutti quei simboli. Questa formola (3) e stata dimo- 

 strata dal Pieri (cfr. Nota II") per mezzo di considerazioni geometriche senza far 

 uso del principio della conservazione del numero. 



