176 GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 6 



Ora si dimoatreranno le formole (I), (II) applicando, non il principio della con- 

 servazione del numero, ma il calcolo simbolico tenendo conto di questa formola (3) 

 e della formola di Schubert, che da il prodotto d'una condizione caratteristica arbi- 

 traria per la condizione semplice a t . 



Siccome le (I), (II) per k = 1 ai riducono alia formola di Schubert ora nominata, 

 ae dimostreremo che le (I), (II) aono vere per k = r-\-l, quando siano aupposte tali 

 per k<r, aara provato che valgono in qualunque caao; e per faeilitare questa dimo- 

 strazione si cominciera a provare che in tali ipoteai sono verificate per fc = r -f- 1 

 le seguenti relazioni : 



(4) a,(«; m) = t (— l)- l 0Vi(i; »«)?.(<: m) , 



ove gli spazi [m\ appartengono alio spazio fondamentale [«] e dove e t<s; 



(5) («„, «i, ..., a,)o,(s;a,) = 



= (o , a,, ..., «,-i, a,)o", ; (s — 1 ; a,_,) + (a , a lt ..., a„_!, a, — l)oV-i(s; a, — 1), 



(6) (a > «i. -. a..,)c,.(s;a,) = 



= (o > <h, •••» s *-i> «•)«»(* — li s .-t) +(«oi «n •••) s .-i> a, — l)S»-i(s — 1; «,_,), 



ove si devono escludere i termini contenenti i simboli privi di senso. 



Se e i>r, tenendo conto delle (I), (II) per k<r, si deducono le seguenti relazioni: 



a r+l (t;m) = O r (t;m)Zi(t;M) — (»» — t — r, in — t, m — (t — 2), ..., in), 



(— l)(m — t — r, m — t, m — (t — 2), ..., m) = (— l)<J,._,(f; »»)?.,(«; m) -\- 



-\- (m — t — r -\- 1, m — t, m — (t — 1), m — (t — 3), ..., m) , 



( — l) r_1 (m — t — 2, m — t, ..., m — t + r — 1, in — t -f- r -\- 1, ..., m) = 

 = (— ir*ffi(«; »)«,(<; «) + (— 1)'Sh-i(<; »»); 



da cui addizionando membro a membro si trae la formola (4) per le = *• + 1. Ana- 

 logamente se o t<r, addizionando le prime t relazioni precedenti a quest'altra 



(— l)'(m — r — 1, m — t, ..., m — 2, >» — 1) = (— l)'<J f _,(*; m)?, +1 («j m), 



si otterra la (4) per 4 = r + l. 



Ora per questa formola (4) vale: 



(a , <*,, ..., a,)o", +I ((; a,) — (a , Oj, ..., a,^, a,)o" r+l (< — 1; a M ) = 



= I (— l)- 1 [(ao.a i ,... J a()<rr+i-i(*;«i)Si(*;«i)— K,»i,...,3 1 -i,»i)i>,+i-i(f- l;at-j)«$— l;a»-i)]> 



dove nel caso di t < r manca il termine 



(a , «i, ..., «<-i, a,)<Jr-i(« — 1; Si-i)sh-i(* — 1; 3(-i) , 



perche privo di senso. 



