RISOLUZIONE DEL PROBLEMA DEGLI SPAZI SECANT! 



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Supposte vere le (5), (6) per k< r (il che evidentemente e lecito, perche si sono 

 supposte tali le formole (I). (II) per k<r), il termine fra [] della sommatoria pre- 

 cedente diventa: 



(a , «i, ..., «,_:, a, — l)ff, + ,_i(<; a, — l)Si_x(< — 1 ; «,_,) + 



+ K, «„ ..., «,_„ «, — l)a,._ t (t; a, — l)<u(t — 1; a M ), 

 quando sia i<min(r, i). Tenendo oonto di questo la formola di sopra si pub scrivere: 



(7) («„, «!, ..., a,)a r+l (t ; 3,) — (o , <z„ ..., a,_,, a,)(J r+1 (« — 1 ; a,_,) — 



— (ff , «i. ■ ■■, «i-i, «i — l)o\(£; «i — 1) = 



= (— l)'[(«o> «ii -, «/)5,iift «,) — («o, »i. ..., 8<-i, «0ft+i(< — 1 ; «,_,) — 



— (Oo, Oi, ..., «,_i, o, — 1) ?,(< — 1; a,^)] , 



se e t>r; od invece: 



(7') (a,,, a t , ..., a,)a r+1 (t; a,) — (o , a,, ..., «,_!, a,)a, +1 (i — 1 ; 3,_i) — 



— (a 0l fflj, ..., «(_!, a, — 1)<X,(<; a* — 1) = 



se e <<r, perche facendo un aemplice ragionamento geometrioo si riconosce subito 

 che e: 



(«. , a u ..., oOSi+i(*> s <) — Oo, «i, ..., «i-i, a, — l)s,(* — 1 ; a,_,) =0. 



Quindi dalle formole (7), (7') per t = s si ricava intanto che, se es>r, la (5) 

 e vera per h = r-\-l, quando in tale ipotesi lo sia pure la (6); se invece e s<r la (5), 

 pure per i = r + l, e senz'altro verificata; (la formola (6) in tal caso non pub esi- 

 stere, perche sarebbe priva di senso, oppure si riduce alia nota relazione 



(u , «i, .», «.)?,+! (»< "<) — («o, <>i «.-i, ««— l)s,(« — 1; «,_i) = 0) . 



Concludendo non rimane altro che a provare la validita della (6) per h=r-\-\. 

 Dalla formola (3) si trae: 



(«o, «„ ...,o,)Wi(*;«i)— («o, «i, ..., Si-i, «/)^+i (* — l;«,-0 = 



= Z .(— l)' _1 [( a 0> Oil -, ««-(, «/+!-,, ..., »l)?r+l-<(< — *; S/-) ff .( f + 1 — »! S H-l-i) — 



— («o, Oi, ..., a,-i-„ «,_i, ..., «i)q r +i-i(< — 1 — *; «j-i^)o-,(« — »'; «,_,■)] , 



dove la sommatoria e estesa a tutti i valori di * da 1 ad r -f- 1, escludendo perb i 

 termini che contengono simboli privi di senso. 



Se e l<i<r e se i simboli o\(i + 1 — i\ «i + i_,), 0";(< — i; «,_,) non sono privi 

 di senso, applicando la (5) e (6) per k < r (il che e lecito, come si e detto sopra), 

 vale la seguente relazione: 



(8) (o , o!j, ..., aitm-iit — i;a,_,)a,(t -f 1 — »; a, +1 _i) — 

 — (« , <hi .», ai)Sr+i-i(t — 1 — i; 5^.,_Jfl» ( (< — i; «,_,) = 



= (<J ,«i, ..., «i-i, Of+i-i ~ 1, -, a,) S r+I _i(£ — i ; a M ) OV! (f + 1 — i; a , +1 _j — 1) + 

 + (a , <H, ..., « H -i, a,_j — 1, ..., a()s_j(< — 1 — t; a ; _i_,) ffi (f — i; a,_ ( — 1). 



Sekie II. Tom. LII. x 



