9 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 179 



(ao,<*i,...A)«r+i(s; 8 >)— (a ,a 1 ,...,a,_ l , a ,) ir+l ( s — 1;S_,)— (o ,ai,.-v S .-i.«.— l)?r(s— 1;5_,) = 

 = («o,«i, ..., o^-p.,-1, a,.,,.,., ..., o,)? r+ i(s — pV; a,_ p ,,) — 



— (« , %, ..., a,_,/ r _!, a_p.,, .... a,)&. +l (s — p'r — 1; a,^^) — 



— (a , «,, ..., «,_,,,,_,, «,_ p ,,. — 1, ..., a,)$,(s — p'r — 1; «(.,_,,.,_,); 



e quindi per il secondo membro di questa relazione, essendo soddisfatte le restrizioni 

 per l'applicazione della (10'), si conclude che esso e di conseguenza il primo membro 

 sono identicamente nulli. 



Cosi e completamente provata la validita delle formole (4), (5), (6) per k — r + 1, 

 nell'ipotesi che siano vere per k < r le (I), (II). 



Di qui si deduce poi che le (I), (II) sono vere per k = r+ 1, qualunque sia la 

 condizione caratteristica (a , a,, ...,«,), perche in primo luogo sono evidentemente 

 verificate, se k—r + 1 ed s=0, e poi perche, valendoci delle (5), (6) per/fc=»- + l, 

 si trae subito che nel caso di k = r+\ le (I) , (II), supposte vere per lo spazio 

 [s] = [s'], sono di conseguenza pur vere per lo spazio [g] = [g'-f-l]. 



3. — Dimostrazione di due formole ausiliarie. 



Siccome qui e nel seguito, escludendo i paragrafi 5 e 13, considereremo sempre 

 condizioni caratteristiche imposte agli spazi [s] dello spazio fondamentale [n], invece 

 di a T (s;n) e?,(s;«), secondo quello che si e detto sopra, si potra serivere semplice- 

 mente a r e %,. Inoltre per rendere piu chiaro il seguente ragionamento qui con 



V (ft,,. ..,^1 Mr) 



mdicheremo la somma di tutte le condizioni caratteristiche 



(n—s—h,—i„...,n—(t+l)—h l+1 -i l+1 , n—t—h„ n—(t—l)—4 t . l ,...,n—l—i l , »—*,,), 



per cui si ha: 



i, + ».-i + ... + i,+i + it-i + ... + *!+ i = r , 



< i < min (1 , »,.. +1 ) (k = 0, 1 ,...,< — 2), < j M < min (1 , ft,), 



< 4< min(l, h M — h„+ k +1 ) (k = t + 1, ..., s — 1), < », < min(l, n — s — ftj . 



Nell'ipotesi che sia ft,<g, per mezzo della (II) si trae: 

 (n — g — /,,., ..., „_(«+!)_ A, +1 , n — t — (ft, — 1), » — (t— 1), ...,»— 1, n)?1 = 

 = (» — « — /,,, ... , n — (« + 1) — ft, + „ » — i — ft,, » — («— 1), ..., » — l, ») _|_ 

 + V(*.,-.*i+i,*i— i;l), 



(— l) 2+1 (»-g- ft,, ...,» — (« + i)_/i 1+li «~f— (7,,_2),« — (« -l), ...,»— 1,») S2 = 

 = (-If^ft,, ..., ft, +1 , ft,- 1; 1) + (_ iy+ l V(h„ ...,h, +l , A,- 2; 2), 



