13 BISOLUZIONE DEL PEOBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 



Del determinants 

 diremo 

 essendo 



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P(lh, ■-, ft; 2i, ..., ji; /*.,, ..., fe;), 

 l<Z<s — i+1 , 



il minore formato dalle linee pf™, p/*", ..., ^, s ™« e dalle colonne qf*, q 2 simi , ..., 2i 8i ™, 

 mtroducendo inoltre la restrizione die p u p a , ..., p, cos'i disposte siano in ordine 

 crescente e che del pari si abbia qi<q 2 <...<q l . 

 Invece con 



Q(Pi, -, Pf, ii, -, »; K, ..., h,) 



si designera il eomplemento algebrico del minore 



P(Pi, :.,pi\ ii, ..-, qr, K, ..., h,) 

 H(h„ /»_„ ... , /»,). 



nel determinante 



Dalla definizione del simbolo 



si deduce subito la formola: 



H(h„ h,_ u ..., 7*,) 



(1) Fflft + i„ &,_, + i,_ u ..., h t +i,) = ZS(h s + i„ K-i+hi, ..., /», + ;,), 



perche e nullo ogni determinante H(h s , 7v-ii ..., hi), in cui due h d'indice consecutivo, 

 c he per fissare le idee diremo A„, /<„ +l , sono tali da essere K = h«+i-\- 1. 



Cio premesso, dimostriamo che la (IV)"' 1 e vera per h,-=l. 



Per la formola (III) nel caso di r — 1 si ha: 



(»— s— h„ n— ( s —\)—h_ u ..., n —[k-\-l)—h^ l ,n—k—l,n—(h—l),...,n—l,n) = 

 = (n—s—h„ n— (s— 1)— A_i, ..., n— (A + l) — h t+l , n—k, n—(k—l), ..., n—1, h)?i — 

 ~r*hX n— s ~ *»—*., n — («—l)— h-i — »«-« ...,»— (k-\-l)—h H .i,-^ t+l , n—k,...,n— 1,»), 



da cui per l'ipotesi fatta che la formola (IV) sia vera per t=k-\-\, sostituendo al 

 posto delle condizioni caratteristiche del secondo membro l'espressioni date dalla (IV), 

 cioe dalla (IV)"' 1 , si ricava: 



(«— s— h„ n — (s— 1) — /(,_„ ..., n—(k+l)—h kH , n—k— I, n—(k—l), ..., n—1, n) = 

 = E(h„ /»,_,, .... h k . ,)?! — VH(h, + i, &,_, + (,_!, ..., /j, +1 -f. i +1 ). 



Ora per la formola (1) si pub scrivere : 



x>u(h, + i„ &,_, + ;_, , ..., /» l+1 + i t , .,) = i #(&, + j„ *,_, + <_„ ..., /, t+1 + i l+1 ) , 



