184 OIOVANNI ZENO GIAMBELII 



onde, sviluppando ciaaouno dei determinanti del secondo membro, si ottiene: 



Z'H(h, + %, ft,_i + i,_, *n.i + h+i) = 



(ij*+l;l) 



="£"* Vp( Pl ; ?1 ; A, + 1, ..., /;,,,, + 1) . Q{pi;qu h„ ..., /< s+1 ), 



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ossia: 





p,=s—h 



p,=i 

 + i l_1 ""IfPtpii ji; A, + li ■•■> *»+i+l)-<?(Pii ?ii *•. ■••' 7, '+')- 



2l=l Pi =1 



Siccome la sommatoria doppia ora scritta e uguale a zero, perche somma di 

 s— h — \ determinanti aventi due colonne successive uguali, si trae: 



l'fl(fe,4-i,,/i,_ 1 +w,...,^ 1 44 B+1 )==Sip0pii8— kh+l,.-',fh + i+l)-Q(pi;s-hh,,-Mi) : = 



— :(_ 1) ,Q($ — fc + 1; s — >; A,, ..., h +u 1). 

 Ma d'altra parte essendo 



H(h„ /»,_„ ..., ?W).«i = ffi .$(« — * + li « - * + 1 ; h, ..., ftw-i, 1), 

 si conclude la relazione : 



( n — s ^h,, » — (s— •1) — A_i, ..., n — (k+l)—ht+u n—k—l, n—(k—l), ...,»— 1,») = 



= #(*„ /»,.,, ..., 'k.+i, 1). 



Quindi la (IV) 1 * 1 e vera per h t = 1. 



Supposta vera la (IV) W per A,,= 1 , A»= 2, ..., h t =l— 1, dimostriamo die lo e pure 

 per h,.= l, purche pero sia l<s — k, dopo si considerera il caso in cui sia l>s— k. 

 Le dimostrazioni relative a questi due casi non si potrebbero fondere in una sola, 

 se non danneggiando la chiarezza. 



Dunque se e l<s — k per la (III) si ha: 



(n—s—h., » — (s — 1) — /?.,_!, ..., » — (Xs+1)— ft** n—k—l, n— (i— 1), ..., n— 1,») = 

 ='£'(— l)' +1 («-s- fc„ ...,«—(*+ 1) — Ajb+i, »—*—«+»•, n— (k— 1), ..., «— 1, »)Sr + 

 + (— l)**Z'(n— s — h,— i„ ...,n — (fc+1) — h m — i^, n — k,n — (k — 1),. ..,»—!, «), 



da cui per l'ipotesi fatta che la (IV) sia vera per t = k + l, e che la (IVf sia vera 

 per ft s =l, 2, ..., I — 1, si deduce: 



(2) (n—s— h„ »— («— 1)— A,-!, ..., n—(k+l)—h t+l , n—k—l, n— (fc— 1), ..., n— 1, ») = 



=I('_iy+ 1 fl(A, f *». 1) ..., A t+1 , J— r)s,4(— l)^'Z'H(h, + i„ ti + L„ ..., *»n+»»+0' 



, = 1 V i,:M-l'.l) 



