15 RISOLUZIONE DEL PEOBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 185 



Per la formola (1) poi vale la relazione: 



("H-W! (iSH-W) 



onde sviluppando ciascun determinante della seeonda sommatoria per mezzo dei 

 minori contenuti nelle I linee corrispondenti agli I valori delle i che sono uguali ad 

 uno, e ricordando il significato del simbolo 



S-f+I 



. . W 



si ricava : 



TB(h, + i„ *,_! + «,_!, ..., h l+l + i t+] ) = 



s-k <— k 



= H U P(Pn ~, Pit iii •••! 2ii *.+ lf •••> h+i+V-QiPii -,pr,qi,-,qr, h„ ..., h i+l ) = 



I— ft *-k 



— 2S ^-fli'i. — > J»» ; 2n ...i2i;*.+ l. ■••) *»n+ 1 )-0(pi, — , j?j; ji, -, ®; '*.,, ..., V,). 



Ora osserviamo che l'espressione 



«— » 



S-Pfi'f. •••> Pi! 2'i. •••■ i'i> *i+1'i ••■» Aj+i + 1). §(i>i, ..., Pi! 2'i, ..., q'r, h„ ..., h +1 ), 

 my 



ove q\, q' 2 , ..., 3', sono I valori delle variabili q u j 2 , ..., j, e sempre uguale a zero, 

 se non e j' t = j' s — 1 = j'j — 2 = . .. = j'j — J + 1 =s — & — Z + 1. Infatti, se non 

 si verifica questo caso, allora vi sono almeno due q' d'indice consecutivo differenti 

 piii d'una unita, oppure si ha g'i = q\ — 1 = •■• = j'i — ' + 1> essendo q\<s — k; se 

 si da la prima di queste ipotesi, dette q'„ q\ +l due q' , tali che ?'„<}'„+! — 1> aUora 

 l'espressione in considerazione e uguale a un determinante identicamente nullo, perche 

 ha uguali le colonne q',' ! """, (g' u + l) sima ; se invece si da l'altra ipotesi si avrebbe un 

 determinante analogo, che e pure nullo, avendo uguali le colonne q'f'™ e fa',-^!)"'"''. 

 Nel caso poi che si abbia q\ = q\ — 1 =q' a — 2 = ... = q't — Z+l — s— k — Z + l, 

 l'espressione che si considera non e identicamente nulla e si verifica subito che e 

 uguale a 



(- 1) ,+S 0(s — k + 1; s — k+l — l; h„ ..., h t+u I). 



Riassumendo la relazione (2) diventa: 



(3) (n—s—h„ n— (s— 1)— &,_,, ..., «— (k+1)— /;,. +1 , n—k—l, n—(k—l), ..., n—1, n) = 



= z'(— l) r+1 -H(*,, fe,-i, -, *»+i> * — »•)?,+ Q(s—k+l; s — k + l—l; h„ ..., h m , I). 



Ora la prima parte del secondo membro di questa formola, cioe 

 i(- l) r + l H{h„ /*,_,,..., A t+l , Z-r) ?r 

 si pub anche scrivere cosi: 



/■=( ffi^S — fc+1 



I Z(- D'+'s,. OW- .,+»+„_, . 0(s — * + 1; 2l ; A , .... A w , 2) , 



r=\ q,=s-k+2—l 

 Sekie II. Tom. LIL y 



