19 



EISOLUZIONE DEL PKOBLEMA DEGLI SPAZI SEOANTI 



189 



dove nella diagonale principals vi Bono >i — s — a ir termini uguali a s, +I (se e 

 n — s — ai y — 0, allora i termini c, !+1 e di conseguenza le relative linee e colonne 

 mancano affatto), poi vi sono «;,.— «,,._, termini uguali a q ir , eec, a,, — a termini 

 uguali a ;,, ; inoltre bisogna poire lo zero al posto di tutti i simboli <; d'indice nega- 

 tivo, e l'unita in luogo di quelli aventi per indice zero. 



Questa formola (VI) associata alia (II) permette di eseguire qualsiasi prodotto 

 di condizioni caratteristiche, quando queste siano numericamente assegnate ; pero non 

 e suffieiente a dare una formola relativa al solo prodotto di due condizioni caratte- 

 ristiche, che non sia priva di non lievi complicazioni algebriehe. 



Caso particolare importante di questa formola (VI) e: 



(VII) 



* = £(-!)" 



4+r,-H-,+ ... (r,-f,- 2 +. ..+ ;■,+!)! 



«i«s 



..«' 



ove la sommatovia e estesa a tutti i valori positivi o nulli delle variabili intere r 

 per cui si ha 



ri + 2r a + ... + (s + l)r,+i=A. 



Sebbene questa formola si possa dedurre come caso particolare dalla (VI), pure 

 e piu facile dimostrarla direttamonte per mezzo del solito metodo d'induzione; cioe, 

 siccome la (VII) si verifies subito quando e h = l. h = 2, sara provato che essa vale 

 in qualunque caso, se supposta vera per h<m si dimostrera che e pur tale per 



Percio nella relazione 



>—min(in+l,s + l) 



oVn = I (— iy+^a m+l _ rir . 



che e un caso particolare della (III'), poniamo al posto delle a i valori dati dalla (VII) 

 per h<m, onde si trovera che il coefficiente del termine <g tg ... s£y e uguale a 



(- iy» 



■E 



('•|+'-2+-+n-i+ri+n-+i+.,.+ )V|-i— 1)! 



qualora si escludano dalla sommatoria i termini per cui r, — 1 = 0. 



Ricordando poi una nota proprieta dei coefficienti polinomiali si deduce che il 

 coefficiente di <^' ?/ ... <£+' non e altro che 



(-D 



,+r,+r e +... ( n + r,+...+ »->4.i)! 

 >', ! )-j! ...r s+l ! 



Applicando la legge di dualita alia formola (VII) riferita alio spazio 

 di [n] si ottiene: 



c. v. d. 



-.-1] 



(VIII) 



6 = I/" ^ 



r, '.r a '. ... r,+i< 



1 - s-i-l ' 



