190 



GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



20 



ove la sommatoria e estesa a tutti i valori positivi o nulli delle variabili intere r 

 per cui e 



n + 2r, + ... + (s + l)r,+i = /». 



6. — Teoremi generali relativi alle condizioni caratteristiche. 



Per le rieerche clie faremo nei seguenti paragrafi e per alcune ricerche di Geo- 

 metria Numerativa e opportuno enunciare i seguenti due teoremi relativi alle con- 

 dizioni caratteristiche. 



Teobema I. — Le condizioni caratteristiche di dimensioned, relative alio spazio [s] 

 dello spazio fondamentale [n] sono fra loro lincarmente indipendenl i. 



Sebbene questo teorema sia una conseguenza di quello di Schubert citato in 

 principio del presente lavoro, pure conviene brevemente dimostrarlo cosi. 



Anzitutto ricordiamo che di una condizione caratteristica (<?„, a u ...,«,) si chiama 

 condizione coniugata la (« — a„ n — a,_i, ..., n — a ). Ora siano r u l~ 2 , ..., V f tutte le 

 condizioni caratteristiche di dimensione d, dimostreremo che la relazione 



(1) 



ciTj + c 2 r 2 + ... + c p r, = o 



non pud sussistere, se non quando i numeri c t siano tutti nulli. Infatti detto c„ uno 

 qualunque dei numeri c, e detta V % la condizione coniugata della r s , per il teorema 

 del paragrafo t si ha V i V\ = 0, se i=¥h, mentre risulta subito geometricamente 

 che vi e un solo spazio [s] soddisfacente simultaneamente alle condizioni I"*, I"',,, onde 

 si conclude per la (1) c t = 0. c. v. d. 



Teorema II. — Rispetto alia trasformazione d'una condizione alyebrica, relatixa 



condizioni caratteri. 



per 



ad uno spazio [s] di [n], in una somma 

 alcuni coefficienti numerici si ha: 



1° questa trasformazione esiste sempre ed e unica; 



2° i coefficienti numerici delle condizioni caratteristiche sono numeri interi positivi. 



Infatti, indicando con Q una condizione algebrica arbitraria , pel teorema di 



' Schubert deve esistere almeno una di tali trasformazioni, la quale poi e unica perche 



se ve ne fosse un'altra allora non sarebbero indipendenti le condizioni caratteristiche 



della medesima dimensione di ft, il che non e per il teorema precedents. Ora posto 



che si abbia 



ove le </, sono coefficienti numerici e le f, sono condizioni caratteristiche della mede- 

 sima dimensione di ft, dimostriamo che qualunque delle rj it cioe y h per fissare le 

 idee, e un numero positivo. Siccome secondo le convenzioni fatte finora in Geometria 

 Numerativa non esistono condizioni negative (solo dopo questo paragrafo saranno 

 per la prima volta introdotte), e poiche, detta V\ la condizione coniugata di I",, 

 per quanto si e visto sopra e V t V\ = per i =1= 0, e V c ["', = 1 , si conclude che <j c 

 non e altro che il numero degli spazi [s] soddisfacenti alia condizione composta ftP,,., 

 cioe che e un numero intero positivo. c. v. d. 



