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EISOLUZIOSE DEL PE0BJ.EMA DEGLI SPAZI SEGANTI 



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7. — Defmizione delle condizioni negative e delle condizioni canoniche. 

 Coadizioni canoniche del gruppo ?. 



Per render piu chiare e piu brevi le considerazioni seguenti introdurrerao le 

 condizioni algebriehe negative; cioe seS e nel senso finora considerato una condi- 

 zione algebrica arbitraria imposta alio spazio [s] di [n], definiremo pure come con- 

 dizione la Q' soddisfacente alia relazione simbolica Q' = — Q. 



Le considerazioni delle condizioni negative serviranno poi a dare importanti 

 nsultati nella seconda parte del presente lavoro. 



Osserviamo che qui e nel seguito, quando si dira semplicemente condizione alge- 

 brica si intendera clie pub essere tan to positiva come negativa. 



Indicando con w,, w 2 , ..., uii+i, s-\- 1 condizioni algebriehe relative alio spazio [s] 

 dello spazio fondamentale [»] e di dimensione 1, 2, ...,s+ 1 rispettivamente, diremo 

 che esse formano un gruppo (*) di condizioni canoniche, quando qualunque condizione 

 earatteristica relativa alio spazio [s] si possa esprimere mediante un polinomio in 

 queste condizioni uij, m 8l ... , U) s+ i , aventi per coefficient numeri interi (positivi o 

 negativi). Le uu^ uu 2 , ..., iu, + i, appartonenti ad un gruppo di condizioni canoniche, 

 saranno poi chiamate condizioni canoniche. 



Per es. dalla formola (VI) segue subito che le condizioni Si, ?s, — ,S»+i formano 

 un gruppo di condizioni canoniche, e cosl pure dalla (VI) e dalla (VIII) si trae che 

 le condizioni a l , o" 2 , . . ., o" s+ i formano un gruppo di condizioni canoniche; questi 

 due gruppi di condizioni canoniche saranno rispettivamente chiamati gruppo q e 

 gruppo a. 



Dalla definizione di gruppo di condizioni canoniche per il teorema II del § 6, 

 segue subito: 



Teoeema I. — Qualunque condizione algebrica imposta ad uno spazio [s] di [n] 

 si pub esprimere mediante mi polinomio in u> lt uu 2 , ..., tu»+i a coefficienti interi, appar- 

 tenendo oj,, w 2 , ... , w M i ad. un gruppo di s -f- 1 condizioni canoniche. 



Rispetto alle condizioni canoniche del gruppo c, vale: 



Teoeema II. — Qualunque condizione algebrica imposta alio spazio [s] dello spazio 

 fondamentale [n] si pub in un sol modo esprimere per mezzo d' un polinomio in 



Sli S 2 , ..., Sj+1. 



Per il teorema II del § 6 bastera prendere come condizione algebrica una con- 

 dizione earatteristica, perche, se il nostro teorema e vero in questo caso particolare, 

 e pur tale in quello piu generale. 



Detta ora d la dimensione d'una condizione earatteristica arbitraria, se essa pub 

 esprimersi mediante due diversi polinomii nelle ;,, allora, indicando con c l7 c 2 , ■-, c s +\ 

 dei numeri interi positivi tali che c t + 2co + ... + ( s + l)c>+] = d, dovra esistere un 

 polinomio 



(1) 



ICL 



..CS+l S] ^2 •■' S) S -_L_; 



idenfcicamente nullo, non essendo tutti nulli i coefficienti C Cl e 8 . iiC . Quindi il nostro 

 teorema sara completamente dimostrato. se si prova che un tale polinomio (1) non 

 pub esistere. 



{*) Qui la parola gruppo ha un significato di verso da quello solitainente usato. 



