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GIOVANNI ZENO GIAMBF.LLI 



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Ora pouiamo 



f + c i+l + ... + c, + 



(i ^ 1, 2, ... , s), 



e chiamiamo Q(jii) l'insieme di tutte le condizioni composte s'j' £ ... S^' per cui e 

 Gc,c,...c !+l =1= e inoltre gfj e maasimo, delle condizioni di Qfji) diciamo Sf^i,'/?) 

 1' insieme di quelle per cui g 2 e massimo, ecc. Si giungera cosi ad un insieme 

 Q(^i, g s , . . .,<?&), essendo 1<&<s, costituito da una sola condizione composta 

 Poniamo per brevita 



?,' Sj ...?„ 



(i=l, 2, ...,* + !), 



allora, per mezzo della (II) considerando tutte le condizioni caratteristiche ottenute 

 dai prodotti $[' z£ — S^+S 1 contenuti in (1), si ricava che la condizione caratteristica 



(n — s — g\ , 



(s-1) -/ s 



n — if, i) 



compare solo nel prodotto <;[' q£ ■■■ %+[' i inoltre eseguendo questo prodotto la si ot- 

 tiene una sola volta(*). Dunque nella(l) eseguendo tutti i prodotti indicati ?J' r^' 1 ... s^S 1 

 e riducendo, si otterra una somma di piu condizioni caratteristiche di dimensione d 

 moltiplicate per coefficienti non tutti nulli, la quale dovrebbe essere identicamente 

 nulla; ora questo e assurdo per il teorema I del § 6; quindi e provato quanto si 

 voleva dimostrare. 



Per mezzo di questo teorema si deduce facilmente: 



Teokema III. — Se uj!, uu 2) ..., uu, sono t condizioni algebriche che esprimono qua- 

 lunque condizione algebrica imposta ad un [s] di [n] per mezzo d'un polinotnio in Wj, 

 uj 2 , ..., it),, I necessariamente t>s-f- 1. 



8. — Ricerca di tutti i gruppi di condizioni canoniche. 



Lemma I. Una condizione uj t (l<k<s-f-l) di dimensioned, tale che si pub esprimere 

 mediante un polinomio formato da condizioni di dimensione minore di k non pud essere 

 una condizione canonica. 



Infatti se la uj t appartenesse ad un gruppo uij, uj 2 , ..., w,, hl di condizioni cano- 

 niche, allora la condizione Zt sarebbe uguale ad un polinomio in ui lt w 2 , ..., w t) cioe, 

 per l'ipotesi fatta su u>», q t sarebbe uguale ad un polinomio formato da condizioni 

 di dimensione minore di k. Esprimendo ciascuna di queste condizioni mediante le 

 condizioni ? 1; £ 2 , ..., <; t _ Y si avrebbe die <;,■ e uguale ad un polinomio in ?,, ? 2 , ..., {>_„ 

 il che e assurdo; dunque w E non pub essere una condizione canonica. 



Lemma II. Se ujj, (1 < k < s -\- 1) & una condizione canonica di dimensione k, e pure 

 una condizione canonica la uj £ -)- H^ , essendo Vt una condizione algebrica di dimen- 

 sione k che si pub esprimere mediante un polinomio in Zi, S2, •••, Ss-i. 



(*) Non occorre osservare che la dimensione dello spazio fondamentale deve essere sufficiente- 

 mente grande, cioe n > 2s -\- 1 ; questa restrizione si deve poi sottintendere in tutte le ricerche 

 seguonti relative alle condizioni canoniche. 



