23 



BISOLUZIONE DEL PP.OBLEMA DECiLI SPAZI SECANT! 



193 



Infatti sia u) l7 uj 2 , ..., uu !+1 il gruppo di condizioni canoniche a cui appartiene w s , 

 dimostreremo ohe 1%, ..., w t _ u id, -\- N\, uu, +1 , .... w,- A e pure un gruppo di condizioni 

 canoniche, e per questo bastera provare che u), si pub esprimere in un polinoniio 

 in Wj, tu 2 , ..., w t „,, ui„ -\- % c a coefficient! interi. 



Essendo aij, tu 2 , ..., w t _, , w t , iu s+1 , ..., w, rl , un gruppo di condizioni canoniche, 

 la condizione algebrica V* si potra esprimere in un polinomio in ui 1 , w 2 , ..., w t _ l a 

 coefficienti interi; se si indica con ¥',,. questo polinomio si potra scrivere 



la quale relazione prova clie uu t si pub esprimere in un polinomio a coefficienti interi 

 formato dalle condizioni u^, w 2 , ..., ui t _ lt u),-j-M'»; quindi w t +H r t e una condizione 

 canonica. 



Teoeema I. — Affinche una condizione ui fc di dimensione k sia una condizione cano- 

 nica, e necessario e sufficients che si abbia 



ui. = ± <» + V„ 



ow N't indica una condizione algebrica di dimensione k e/»e sj pad esprimere mediants 

 un polinomio in <; i: q 2 , ..., ; M . 



Anzitutto per £=1 il teorema e evidente. Supponiamo ora k > 1 ed osserviamo 

 che qualunque condizione algebrica di dimensione k si puo scrivere sotto la forma 



w, f = «s t - 



^,, 



essendo I un numero intero positivo negativo. Se I = per il Lemma I u) t non 

 puo essere una condizione canonica ; supposto quindi 1=4=0, se w t e una condizione 

 canonica, allora e pur tale per il Lemma II la uu s — ¥ t —l$ t . Sia in'!, ..., uuVi, u)i — ^t, 

 w't+i, ..., uj', +1 un gruppo di condizioni canoniche a cui appartiene la w t — T t , allora 

 per definizione di condizioni canoniche e 



«» = *(u), — VJ + x», 



ove A e un numero intero qualunque e dove Xs indica un polinomio nelle ui\, ..., w'„_i a 

 coefficienti interi. Se si indica con X' c cio che diventa Xt, quando si sostituiscono 

 alle w'j, ..., uj'i_, le loro espressioni equivalenti in &, ? 2 , ..., q t _ u si ricava: 



?, = &(w s — Vj) + x'», cioe ?»=Ws» + x'*, 



da cui per il teorema II del paragrafo 7 si deduce: 



hl = l,x'k = 0, cioe l = ±l, 

 e cosi e provato che, affinche u) t sia una condizione canonica, e necessario che si abbia 



Serie II. Tom. LII. z 



