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GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



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Ora per provare che Ie condizioni imposte dal teorema sono sufficients basta 

 osservare che per la relazione 



iu» = ±S» + M' 4 



it = + cu» — Y t , 



cioe Zi si puo esprimere mediante le condizioni 5 1( ; s , ..., ft~ii Wii e quindi s 1( ..., ? t _,, 

 <"», Sn+ii •••' S'+i 6 un gruppo di condizioni canoniche, cioe w s e una condizione 

 canonica. 



Coeollaeio. — Affinche tu, ma «»a condizione caratteristica canonica di dimen- 

 sions i, e necessario e sufficiente che sia 



uUj = (» — s — k, n — s, ..., n — (s — h~\-\), n — (s — h — 1), ..., n — 1, »), 



ore i Humeri interi hek soddisfano alle restrizioni 



0<*<» — 1, h + k = i. 



Risulta subito evidente questo corollario, se si'tiene conto della formola (IV); 

 inoltre e importante osservare che non tutte le condizioni caratteristiche di dimen- 

 sione * sono condizioni canoniche, ma ve ne sono solamente i. 



Dalla definizione di condizione canonica risulta che essa deve appartenere almeno 

 ad un gruppo di condizioni canoniche; ora si vedra che essa appartieno ad infiniti 

 gruppi, perche sussiste: 



Teorema II. — Se tui, UU2, ..., io !+l sono s+1 condizioni canoniche arbitrarie di 

 dimensione 1, 2, ..., s + 1 rispettivamente, esse formano un gruppo. 



Anzitutto ui l , ? 2 , ..., ?, +1 formano un gruppo, perche w,, o e j„ oppure e — ?,. 

 Quindi per provare il nostro teorema basta dimostrare che se u) u uj 2 , ..., ui,„ s s+I , ..., s, + , 

 formano un gruppo, anche w^ w 2 , ..., iu, ; , w^, ? t+a , ..., 5, +1 formano pure un gruppo. 

 Infatti per il teorema I si ha: 



U)£+l = ± £fr+l 



•Y*. 



?*+! : 



: uj»+i — W S4 



e ricordando che Yj+i e funzione solo di {,, s s , ..., &, si potra esprimere la Yj+i per 

 mezzo d'un polinomio in u>i, w 2 , ..., uu, , a coefficienti intori, perche u) n tu 2 , ..., uu 6 , 

 S*+i, ..., Sj+i formano per ipotesi un gruppo. Indicando con x*+i questo polinomio 

 si avra 



S»+i = + lu*+i — Xt+i , 



la quale relazione dimostra che se u^, w 2 , ..., uu t , Ss+i , ..., z$+i formano un gruppo, 

 formano pure un gruppo u> l , ui 2 , ..., uus+i, ? 4+2 , ..., c, s+l ; quindi il teorema e dimostrato. 



Di qui segue in particolare che rispetto alio spazio [s] vi sono (s + 1) ! gruppi 

 di condizioni canoniche e caratteristiche. 



E poi evidente che se una condizione e funzione solo di quelle condizioni cano- 

 niche d'un certo gruppo, aventi la dimensione non superiore a k, e pure funzione di 

 quelle condizioni canoniche di qualsiasi altro gruppo, tali che la loro dimensione non 

 sia superiore a k. Di qui si trae facilmente : 



